paramètre de position

Cinq personnes attendent 4, 5, 5, 6 et 20 minutes. Pour raconter cette série sans réciter les cinq durées, on cherche une valeur qui en indique la position générale. La moyenne répartit le temps total entre les personnes. La médiane retient la durée du milieu après classement, tandis que le mode repère la durée la plus fréquente.

Ces repères ne racontent pas exactement la même histoire. Ici, l'attente de 20 minutes tire la moyenne vers le haut, alors que la médiane reste proche de l'expérience de la majorité.

Un paramètre de position est un nombre calculé à partir d'une série statistique pour en situer une zone centrale ou une valeur typique. Il résume la position de la distribution, mais ne décrit ni son étalement ni sa forme. Le choix du paramètre dépend donc de l'information recherchée et de la répartition des données.

Pour une série de n valeurs numériques notées x₁, x₂, …, x_n, la moyenne arithmétique, notée x̄, est leur somme divisée par n : $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\backslash bar\{x\}=\backslash frac\{x\_1+x\_2+\backslash cdots+x\_n\}\{n\}$. Chaque valeur intervient dans le calcul, si bien qu'une valeur extrême peut déplacer fortement le résultat.

La médiane se détermine après classement. Lorsque l'effectif est impair, c'est la valeur centrale. Lorsque l'effectif est pair, la convention usuelle prend la moyenne des deux valeurs centrales. Le mode est la valeur, ou la classe, dont l'effectif est maximal ; plusieurs modes peuvent coexister. La valeur centrale ne dépend que du minimum et du maximum : $c=\frac{x_{\min }+x_{\max }}{2}c=\backslash frac\{x\_\{\backslash min\}+x\_\{\backslash max\}\}\{2\}$.

Un accueil relève cinq temps d'attente, déjà rangés dans l'ordre croissant : 4, 5, 5, 6 et 20 minutes. L'effectif est donc 5, le minimum vaut 4 minutes et le maximum 20 minutes.

1. La somme des durées vaut 4 + 5 + 5 + 6 + 20 = 40 minutes.
2. La moyenne est 40 ÷ 5 = 8 minutes.
3. La troisième valeur de la liste est 5 minutes : il reste deux observations de chaque côté, donc la médiane vaut 5 minutes.
4. La durée 5 minutes apparaît deux fois, davantage que toute autre : le mode vaut 5 minutes.
5. La valeur centrale est (4 + 20) ÷ 2 = 12 minutes.

Le résultat dépend du repère choisi : 8 minutes pour le partage du total, 5 minutes pour le milieu et la fréquence maximale, 12 minutes pour le milieu des deux extrêmes. Le contrôle de la moyenne est refaisable : 8 × 5 = 40 minutes, soit la somme annoncée. La figure rend visibles ces positions sur la même échelle.

Pour répartir un total en parts égales, on choisit la moyenne. Dans l'exemple, elle transforme les 40 minutes cumulées en une attente moyenne de 8 minutes par personne.

Pour décrire une attente typique malgré une durée exceptionnellement longue, on préfère la médiane. Le critère observable est l'asymétrie créée par 20 minutes : la médiane de 5 minutes résiste mieux à cette valeur atypique.

Pour connaître la valeur la plus courante, on utilise le mode. Il convient notamment lorsque la fréquence importe davantage que le partage d'un total ; ici, 5 minutes est la seule durée répétée.

Lorsque seuls le minimum et le maximum sont connus, la valeur centrale fournit le milieu de ces extrêmes. Elle reste un repère sommaire, car elle ignore toutes les observations intermédiaires.

Paramètre de position et paramètre de dispersion. Le premier situe la série ; le second mesure son étalement. Deux séries peuvent avoir la même moyenne de 8 minutes tout en présentant des écarts très différents autour de 8.

Médiane statistique et médiane d'un triangle. La première se détermine à partir de la valeur centrale ou des deux valeurs centrales d'un effectif ordonné. La seconde est un segment joignant un sommet au milieu du côté opposé. Une liste de durées appelle la notion statistique ; une figure triangulaire appelle la notion géométrique.

Une valeur extrême déplace la moyenne. Avec 4, 5, 5, 6 et 20 minutes, la moyenne vaut 8 minutes. Sans l'attente de 20 minutes, elle tombe à 5 minutes, tandis que la médiane reste 5 minutes. Il faut examiner la distribution avant de retenir la moyenne comme valeur typique.

La valeur centrale oublie l'intérieur de la série. Elle vaut 12 minutes dès que les extrêmes sont 4 et 20 minutes, quelle que soit la position des trois autres observations. Il faut employer la moyenne ou la médiane si ces observations doivent compter.

Le mode n'est pas toujours unique. Si plusieurs valeurs atteignent la même fréquence maximale, la série est multimodale. Si toutes les valeurs apparaissent une seule fois, aucune ne se distingue par sa fréquence ; il faut alors annoncer la convention retenue au lieu d'imposer un mode unique.

Un effectif pair laisse deux valeurs centrales. Pour 4, 5, 6 et 20 minutes, les valeurs centrales sont 5 et 6. La convention numérique usuelle donne une médiane de 5,5 minutes, mais la convention doit être précisée lorsqu'elle n'est pas fixée.

Mode d'une série statistique — Approfondir la valeur la plus fréquente et les situations où plusieurs modes coexistent.

Quartile — Passer d'un partage en deux groupes à un découpage ordonné de la série en quatre groupes.

Une histoire de moyennes bien rangées — Prolonger l'étude de la moyenne par des propriétés et des problèmes consacrés aux moyennes.