écart interquartile

Imaginez huit temps de résolution rangés du plus court au plus long : 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12 et 14 minutes. Deux repères encadrent le cœur de cette série. La distance entre ces repères indique si les valeurs centrales sont serrées ou dispersées.

Le premier repère est le premier quartile, noté Q₁, et le second est le troisième quartile, noté Q₃. Ici, ils valent 4 et 10 minutes. L'écart interquartile vaut donc 6 minutes. Il décrit ici la largeur de la zone centrale délimitée par ces quartiles. En général, l'écart interquartile est peu sensible aux valeurs extrêmes, mais cette robustesse dépend de l'effectif et de la convention de calcul des quartiles.

L'écart interquartile est un paramètre de dispersion applicable à une série quantitative ordonnée. Dans la convention scolaire française retenue ici, le premier quartile, noté Q₁, est la valeur de rang n/4 arrondi à l'entier supérieur : au moins un quart des données lui sont inférieures ou égales et au moins trois quarts lui sont supérieures ou égales. Le deuxième quartile, noté Q₂, est la médiane. Le troisième quartile, noté Q₃, est la valeur de rang 3n/4 arrondi à l'entier supérieur : au moins trois quarts des données lui sont inférieures ou égales et au moins un quart lui sont supérieures ou égales. D'autres conventions existent et doivent être précisées avant de déterminer ces valeurs.

L'intervalle interquartile est [Q₁ ; Q₃]. Sa largeur est l'écart interquartile, aussi nommé étendue interquartile : $Q_3-Q_{1}Q\_3-Q\_1$. Cette différence mesure l'amplitude de la moitié centrale de la distribution. Une petite valeur signale des données centrales rapprochées ; une grande valeur signale une plus forte dispersion centrale, dans l'unité de la série.

Le coefficient interquartile défini ici rapporte cet écart à la médiane : $C_I=\frac{Q_3-Q_1}{Q_2}C\_I=\backslash frac\{Q\_3-Q\_1\}\{Q\_2\}$. Il est sans unité et sert à comparer des dispersions relatives entre séries d'ordres de grandeur différents. Ce rapport exige Q₂ ≠ 0 et demande une interprétation prudente lorsque la médiane est proche de zéro.

Huit personnes mettent 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12 et 14 minutes pour résoudre une énigme. Les temps sont déjà rangés. On adopte la convention scolaire française : Q₁ et Q₃ sont les valeurs de rangs arrondis à l'entier supérieur. Une représentation sur un axe montre comment ces deux quartiles bornent une longueur de 6 minutes.

1. Compter les données donne un effectif $n=8n=8$.
2. Calculer les rangs donne $\lceil n\mathrm{/}4\rceil =2\backslash lceil\; n/4\backslash rceil=2$ pour Q₁ et $\lceil 3n\mathrm{/}4\rceil =6\backslash lceil\; 3n/4\backslash rceil=6$ pour Q₃. Les valeurs correspondantes sont 4 et 10 minutes.
3. Calculer la médiane donne $Q_2=(7+8)\mathrm{/}2=\mathrm{7,5}Q\_2=(7+8)/2=7\{,\}5$ minutes.
4. Soustraire les quartiles donne $Q_3-Q_1=10-4=6Q\_3-Q\_1=10-4=6$ minutes.
5. Rapporter cet écart à la médiane donne $6\mathrm{/}\mathrm{7,5}=\mathrm{0,8}6/7\{,\}5=0\{,\}8$.

L'écart interquartile est donc de 6 minutes et le coefficient interquartile vaut 0,8. Le contrôle consiste à repartir de Q₁ = 4 minutes : ajouter la largeur calculée, 6 minutes, conduit bien à Q₃ = 10 minutes.

Pour résumer les huit temps de résolution, l'écart interquartile décrit le groupe central sans laisser les valeurs extrêmes fixer seules l'échelle. Si l'on veut au contraire mesurer l'écart de chaque valeur à la moyenne, l'écart-type répond à cette autre question.

Dans une boîte à moustaches, Q₁ et Q₃ forment les deux bords de la boîte. Leur distance permet de comparer visuellement la dispersion centrale de plusieurs séries. Une valeur numérique précise exige toutefois le calcul Q₃ − Q₁, car la lecture graphique peut être approximative.

Pour comparer des séries dont les niveaux sont très différents, le coefficient interquartile rapporte l'écart à la médiane. Son emploi n'est pertinent que pour des séries dont la médiane est positive et dont le zéro de mesure a un sens ; sinon, le rapport peut être négatif ou dépendre de l'origine choisie. L'écart brut reste préférable si Q₂ est nul, proche de zéro ou si les unités concrètes sont l'information recherchée.

Intervalle interquartile et écart interquartile. Le premier est l'ensemble des valeurs comprises entre Q₁ et Q₃ ; le second est sa largeur. Dans l'exemple, l'intervalle est [4 ; 10] minutes, tandis que l'écart vaut 6 minutes.

Étendue totale et étendue interquartile. L'étendue totale soustrait le minimum au maximum. Elle vaut ici 14 − 2 = 12 minutes. L'étendue interquartile soustrait Q₁ à Q₃ et vaut 6 minutes.

Écart et coefficient interquartiles. L'écart conserve l'unité de la série : 6 minutes. Le coefficient divise cet écart par la médiane et n'a pas d'unité : ici 6 / 7,5 = 0,8.

Convention de quartiles non précisée. Pour une petite série ou un effectif non multiple de quatre, plusieurs conventions existent. Des logiciels peuvent alors produire des quartiles différents. Il faut annoncer la convention et l'appliquer aux deux séries avant toute comparaison.

Médiane nulle ou presque nulle. À Q₂ = 0, le coefficient (Q₃ − Q₁) / Q₂ n'est pas défini. Près de zéro, il peut devenir très grand et instable. Il faut conserver l'écart interquartile brut ou choisir une mesure relative adaptée au contexte.

Écart interquartile nul. Q₁ = Q₃ donne un écart égal à 0, sans prouver que toutes les données sont identiques. Dans la série 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 3, les deux quartiles valent 0 alors que deux valeurs diffèrent.

Extrêmes invisibles dans le résultat. Remplacer 2 et 14 par −100 et 100 dans l'exemple laisse Q₁ = 4, Q₃ = 10 et l'écart égal à 6. Il faut donc examiner aussi les extrêmes lorsqu'ils comptent dans l'analyse.

quartile — Pour approfondir la position de Q₁, Q₂ et Q₃ dans une série ordonnée.

boîte à moustaches — Pour voir comment l'intervalle interquartile devient la boîte centrale d'une représentation statistique.

écart-type — Pour comparer l'écart interquartile avec une dispersion calculée à partir de tous les écarts à la moyenne.