Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Boîte à pattes
La boîte à pattes (ou boîte à moustaches, ou box plot) est une représentation graphique d'une distribution statistique. Dans le résumé à cinq nombres, elle met en évidence le minimum, le premier quartile (Q1), la médiane (Q2), le troisième quartile (Q3) et le maximum. La boîte centrale va de Q1 à Q3 et représente l'intervalle interquartile. Selon cette convention, les moustaches rejoignent le minimum et le maximum. Dans la convention de Tukey, chaque moustache rejoint plutôt la dernière observation encore comprise entre les bornes obtenues en retranchant 1,5 fois l'intervalle interquartile à Q1 et en l'ajoutant à Q3 ; les observations au-delà sont représentées séparément. Ce graphique permet de visualiser la dispersion, la symétrie et les valeurs aberrantes d'un jeu de données.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la boîte, la médiane et les moustaches aux quartiles d'une série ordonnée.
- Construire un box plot complet sur neuf temps de trajet.
- Distinguer une borne de Tukey de l'extrémité effective d'une moustache.
- Interpréter une valeur atypique sans la déclarer automatiquement erronée.
En clair
Imaginez des temps de trajet rangés du plus court au plus long. Au lieu de montrer chaque valeur, la boîte à pattes en dessine un portrait compact. La moitié centrale des temps tient dans la boîte et la médiane la partage. Selon la convention choisie, les moustaches rejoignent soit les valeurs extrêmes, soit les dernières observations comprises dans les bornes de Tukey. Une ou plusieurs observations au-delà des moustaches attirent alors l'attention comme valeurs atypiques.
Une boîte large signale donc une moitié centrale dispersée. Une médiane décentrée ou des moustaches inégales peuvent signaler une distribution dissymétrique, sans suffire à elles seules pour l'expliquer.
Définition
Une boîte à pattes, aussi appelée boîte à moustaches ou box plot, résume la position et la dispersion d'une série quantitative ordonnée. Dans la convention française retenue ici, le premier quartile Q1 est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25 % des observations lui soient inférieures ou égales. La médiane Q2 partage la série en deux moitiés. Le troisième quartile Q3 est défini de même au seuil de 75 %. La boîte s'étend de Q1 à Q3. Sa longueur est l'intervalle interquartile, noté IQR : .
Deux tracés courants coexistent. Dans un résumé à cinq nombres, les moustaches rejoignent le minimum et le maximum. Dans la convention de Tukey, on calcule les bornes Q1 − 1,5 × IQR et Q3 + 1,5 × IQR ; chaque moustache s'arrête à l'observation la plus extrême qui reste dans ces bornes. Les observations au-delà sont dessinées séparément comme valeurs atypiques. Elles ne sont pas automatiquement erronées.
Les règles de calcul des quartiles varient selon les programmes et les logiciels. Pour comparer deux boîtes, il faut donc vérifier la convention, ainsi que l'échelle commune. Le graphique renseigne sur le centre, la dispersion, une éventuelle dissymétrie et des points atypiques, mais il ne restitue ni toutes les valeurs ni la forme détaillée de la distribution.
Un exemple, pas à pas
Neuf temps de trajet, en minutes, sont déjà rangés : 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 30. On adopte ici la convention française où Q1 et Q3 sont les valeurs de rangs arrondis à l'entier supérieur de 25 % et 75 % de l'effectif.
1. Avec neuf valeurs, la médiane est la cinquième : Q2 = 8 min.
2. Le rang de Q1 vaut l'entier supérieur à 9 ÷ 4, soit 3 : Q1 = 5 min.
3. Le rang de Q3 vaut l'entier supérieur à 27 ÷ 4, soit 7 : Q3 = 10 min.
4. L'intervalle interquartile vaut 10 − 5 = 5 min.
5. Les bornes de Tukey valent 5 − 1,5 × 5 = −2,5 min et 10 + 1,5 × 5 = 17,5 min.
2. Le rang de Q1 vaut l'entier supérieur à 9 ÷ 4, soit 3 : Q1 = 5 min.
3. Le rang de Q3 vaut l'entier supérieur à 27 ÷ 4, soit 7 : Q3 = 10 min.
4. L'intervalle interquartile vaut 10 − 5 = 5 min.
5. Les bornes de Tukey valent 5 − 1,5 × 5 = −2,5 min et 10 + 1,5 × 5 = 17,5 min.
La moustache gauche atteint 2 min et la droite 12 min, dernière observation comprise entre les bornes. La valeur 30 min est représentée séparément. Le contrôle est refaisable : 12 ≤ 17,5, tandis que 30 > 17,5. La figure rend visible cette séparation sans confondre la borne théorique 17,5 avec l'extrémité de la moustache.
En pratique
Pour comparer les temps de trajet de plusieurs groupes, placez leurs boîtes sur la même échelle. Les médianes comparent les niveaux typiques et les longueurs des boîtes comparent la dispersion centrale. Si les effectifs sont très faibles, affichez plutôt les points individuels, qui ne masquent aucune observation.
Pour repérer une mesure à examiner, cherchez les points au-delà des moustaches. Revenez ensuite à la donnée d'origine : une valeur atypique peut révéler une erreur de saisie, mais aussi un phénomène réel. Ne la supprimez pas sur le seul verdict du graphique.
Pour étudier la forme fine d'une distribution, préférez un histogramme ou un nuage de points lorsque vous devez voir des groupes, des creux ou des répétitions. La boîte à pattes est préférable lorsque la comparaison compacte du centre et de la dispersion est prioritaire.
À ne pas confondre
Avec un histogramme. L'histogramme répartit les valeurs en classes et montre la forme de la distribution ; la boîte à pattes résume celle-ci par des quartiles et des moustaches. Deux séries peuvent avoir la même boîte, mais des histogrammes différents.
Avec une barre d'erreur. Une barre d'erreur accompagne généralement une estimation, par exemple une moyenne, et représente une incertitude ou une variabilité définie. Une boîte à pattes décrit directement les quartiles d'un échantillon. La présence d'un rectangle autour d'un trait ne suffit donc pas : il faut lire la légende.
Limites et pièges
La règle de 1,5 × IQR ne fixe pas toujours l'extrémité de la moustache. Dans la convention de Tukey, elle fixe une borne. La moustache rejoint la dernière observation située avant cette borne. Dans l'exemple, la borne droite vaut 17,5 min, mais la moustache s'arrête à 12 min.
Une valeur atypique n'est pas nécessairement une erreur. Le symptôme est un point au-delà d'une moustache. Il faut contrôler la mesure et son contexte avant de la corriger ou de l'exclure ; le seuil signale une observation à examiner, pas une cause.
Un intervalle interquartile nul peut aplatir la boîte. Si Q1 = Q3, alors IQR = 0. Les bornes de Tukey coïncident avec cette valeur et toute observation différente peut être signalée comme atypique. Il faut alors consulter les données individuelles.
Les conventions changent le dessin. Des logiciels peuvent calculer les quartiles différemment ou tracer les moustaches jusqu'au minimum et au maximum. Avant une comparaison, vérifiez la définition des quartiles, des moustaches et des points isolés dans la légende ou la documentation.
Pour aller plus loin
Le quartile précise la manière dont une série ordonnée est découpée et aide à interpréter les deux bords de la boîte.
Une étape suivante consiste à comparer la boîte à l'ensemble des points d'origine. On voit alors quelles distributions différentes peuvent partager la même médiane et le même intervalle interquartile.
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