coefficient interquartile

Rangeons douze valeurs de la plus petite à la plus grande. Le premier quartile Q1 et le troisième quartile Q3 encadrent leur moitié centrale. L'écart entre ces deux repères indique son étalement. En le rapportant à la médiane, on obtient une dispersion relative, sans unité, lorsque la médiane n'est pas nulle. Sur une série ordonnée, la moitié centrale s'étend ainsi de Q1 à Q3.

Pour une série quantitative ordonnée, le premier quartile, noté Q1, est la plus petite valeur telle qu'au moins un quart des observations lui sont inférieures ou égales. Le troisième quartile, noté Q3, est la plus petite valeur telle qu'au moins trois quarts des observations lui sont inférieures ou égales. Leur différence Q3 − Q1 est l'étendue interquartile : elle mesure la largeur de la moitié centrale des données.

Dans la convention retenue ici, la médiane est notée Me et le coefficient interquartile est le rapport suivant :

Le calcul exige une médiane non nulle. Avec des données positives, un coefficient plus grand traduit une moitié centrale plus étalée relativement au niveau médian. Le rapport est inchangé si toutes les valeurs sont multipliées par un même nombre positif. En revanche, si l'étendue interquartile est non nulle, il change en général lorsqu'on ajoute une constante non nulle à toutes les valeurs, à condition que la nouvelle médiane reste non nulle. Comme il repose sur Q1, Q3 et la médiane plutôt que sur tous les écarts à la moyenne, il est généralement moins sensible aux observations extrêmes que l'écart-type. Les règles de calcul des quartiles variant selon les conventions, il faut conserver la même convention pour comparer deux séries.

Une série comporte douze valeurs déjà ordonnées : 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28 et 30. On adopte la convention française des rangs : Q1 est la valeur de rang 3, Q3 celle de rang 9, et la médiane est la moyenne des valeurs de rangs 6 et 7.

1. Le premier quartile vaut Q1 = 12.
2. Le troisième quartile vaut Q3 = 24.
3. La médiane vaut Me = (18 + 20) ÷ 2 = 19.
4. L'étendue interquartile vaut 24 − 12 = 12.
5. Le coefficient vaut 12 ÷ 19 ≈ 0,632.

Le coefficient est sans unité et vaut environ 0,63, soit une largeur centrale égale à 63 % de la médiane. Pour contrôler le calcul, on vérifie que 0,632 × 19 ≈ 12. Si la seule valeur 30 devient 300, Q1, Q3 et la médiane restent ici identiques : le coefficient ne change pas.

Pour comparer la variabilité de deux séries positives exprimées à des niveaux différents ou dans des unités reliées par une conversion multiplicative positive, on calcule leur coefficient avec la même convention de quartiles. Une conversion avec décalage peut modifier le coefficient. La comparaison est pertinente si leurs médianes sont suffisamment éloignées de zéro.

Avec une distribution asymétrique ou quelques valeurs atypiques, le coefficient interquartile décrit la dispersion centrale. Si la distribution est plutôt symétrique et sans valeur aberrante marquée, l'écart-type peut être préféré parce qu'il utilise toutes les observations.

Avant d'interpréter le résultat, on examine toujours Q1, la médiane et Q3. Un coefficient élevé peut venir d'une grande étendue centrale, mais aussi d'une médiane positive très petite.

Étendue interquartile. Elle vaut Q3 − Q1 et conserve l'unité des données. Le coefficient interquartile divise cette étendue par la médiane et n'a plus d'unité. Dans l'exemple, l'étendue vaut 12, tandis que le coefficient vaut environ 0,632.

Écart-type. Il est calculé à partir des écarts de toutes les observations à la moyenne. Le coefficient interquartile n'utilise que Q1, Q3 et la médiane. Remplacer 30 par 300 laisse le coefficient de l'exemple inchangé, alors que l'écart-type change fortement.

Médiane nulle. Si Me = 0, la division est impossible : le coefficient n'est pas défini. Il faut alors présenter séparément Q1, Q3 et l'étendue interquartile.

Médiane proche de zéro ou négative. Une médiane positive très petite produit un rapport immense, même avec une étendue centrale modérée. Une médiane négative produit un coefficient négatif si l'étendue interquartile est strictement positive, coefficient difficile à lire comme une dispersion. Dans ces situations, l'étendue interquartile est plus informative.

Robustesse relative. Une valeur extrême isolée ne modifie pas nécessairement les trois repères, comme dans l'exemple. Plusieurs valeurs atypiques, ou une observation qui franchit un rang quartile, peuvent toutefois déplacer Q1 ou Q3. Le coefficient est donc moins sensible aux extrêmes, mais pas absolument insensible.

Conventions de quartiles. Sur un petit effectif, deux logiciels peuvent choisir des rangs ou des interpolations différents et obtenir des coefficients distincts. Il faut indiquer la convention employée et ne comparer que des résultats calculés de la même façon.

Le quartile précise la construction de Q1 et Q3, les deux bornes nécessaires pour isoler la moitié centrale d'une série ordonnée.

L'écart-type fournit un autre regard sur la dispersion en tenant compte de toutes les observations et de leur distance à la moyenne.