boîte à moustaches

Imaginez neuf résultats rangés du plus petit au plus grand. La boîte à moustaches les résume sur une ligne : un trait marque la valeur centrale, la boîte encadre la moitié centrale des résultats et les moustaches indiquent jusqu'où s'étendent les valeurs retenues. Lorsque la convention des moustaches est connue, une médiane décentrée dans la boîte ou des moustaches de longueurs inégales peuvent signaler une répartition dissymétrique. Un point isolé peut aussi attirer l'attention sur une valeur très éloignée, sans prouver qu'elle est erronée.

Une boîte à moustaches, aussi appelée diagramme en boîte, résume une série quantitative ordonnée. Le premier quartile, noté Q₁, et le troisième quartile, noté Q₃, délimitent la boîte. La médiane est tracée à l'intérieur. La longueur Q₃ − Q₁, appelée écart interquartile, mesure la dispersion de la moitié centrale des données.

La définition des moustaches doit être précisée. Dans une convention descriptive simple, elles rejoignent le minimum et le maximum. Dans une convention destinée à repérer des valeurs atypiques, elles s'arrêtent aux valeurs observées les plus éloignées qui restent dans les bornes calculées à partir de l'écart interquartile ; les observations au-delà sont représentées séparément. Une valeur ainsi isolée est une valeur aberrante au sens graphique, pas nécessairement une erreur.

Le diagramme renseigne sur la position, la dispersion et une éventuelle asymétrie. Il ne restitue ni chaque observation ni la forme détaillée de la distribution. Les règles de calcul des quartiles peuvent aussi varier selon les logiciels ou les conventions scolaires ; elles doivent donc être annoncées avant une comparaison précise.

Une série de neuf temps, en minutes, est déjà ordonnée : 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12 et 20. On adopte la convention française des rangs pour les quartiles, puis la règle de 1,5 écart interquartile pour les moustaches.

1. La médiane est la cinquième valeur, puisque la série en compte neuf : elle vaut 8 minutes.

2. Le rang du premier quartile est l'entier supérieur à 9 ÷ 4, soit 3. Ainsi, Q₁ = 5 minutes. Le rang du troisième quartile est l'entier supérieur à 27 ÷ 4, soit 7. Ainsi, Q₃ = 10 minutes.

3. L'écart interquartile vaut 10 − 5 = 5 minutes. Les bornes sont 5 − 1,5 × 5 = −2,5 minutes et 10 + 1,5 × 5 = 17,5 minutes.

4. Les moustaches atteignent donc 2 et 12 minutes, dernières valeurs observées comprises entre les bornes. La valeur 20 est tracée séparément.

Le contrôle est direct : 2 ≤ 5 ≤ 8 ≤ 10 ≤ 12, et 20 > 17,5. Le diagramme conserve ainsi l'ordre de tous ses repères et isole correctement 20 minutes.

Pour comparer les temps de plusieurs groupes, on place leurs boîtes sur la même échelle. La médiane situe chaque groupe et la largeur des boîtes compare leur dispersion centrale. Si les effectifs ou la forme détaillée importent, un histogramme ou les données brutes complète mieux le résumé.

Pour contrôler une série de mesures, on examine les points isolés avant toute suppression. Une valeur éloignée conduit à vérifier la saisie et le contexte de mesure. Si elle est authentique, elle reste une observation à expliquer, non une donnée à effacer automatiquement.

Pour décrire une distribution très asymétrique, on observe la position de la médiane dans la boîte et les longueurs des moustaches. Si plusieurs amas semblent possibles, un nuage de points ou un histogramme devient préférable, car la boîte masque ces regroupements.

Boîte à moustaches et histogramme. La boîte place médiane, quartiles et moustaches sur un axe ; l'histogramme répartit les effectifs ou fréquences entre des intervalles. Deux séries peuvent partager la même boîte tout en ayant des histogrammes différents.

Boîte à moustaches et intervalle de confiance. La boîte décrit la dispersion des observations d'une série. Un intervalle de confiance quantifie l'incertitude d'une estimation selon un modèle. Une boîte large ne constitue donc pas, à elle seule, un intervalle de confiance large.

Convention non indiquée. Des moustaches allant aux extrêmes et des moustaches limitées par une règle de détection ne racontent pas exactement la même chose. Il faut lire la légende ou la documentation avant d'interpréter un point isolé.

Seuil de 1,5 écart interquartile. On note IQR l'écart interquartile, Q₁ le premier quartile et Q₃ le troisième. Une observation au-dessous de $Q_1-1.5IQRQ\_1-1.5\backslash ,IQR$ ou au-dessus de $Q_3+1.5IQRQ\_3+1.5\backslash ,IQR$ est signalée par cette règle. Ce seuil est une convention de repérage, pas une preuve d'erreur.

Peu de valeurs ou beaucoup d'égalités. Les quartiles peuvent coïncider, jusqu'à réduire la boîte à un segment. Il faut alors montrer les observations ou indiquer l'effectif plutôt que conclure à une distribution sans dispersion.

Échelles différentes. La longueur visuelle d'une boîte dépend de l'axe. Pour comparer deux graphiques, il faut employer la même unité et la même échelle, ou comparer leurs valeurs numériques.

La fiche quartile précise le découpage d'une série ordonnée et le rôle de Q₁ et Q₃.