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AlgèbreObjet mathématique · Glossaire

Bordante (matrice)

La matrice bordante (ou matrice hessienne bordée) est la matrice carrée obtenue en bordant la matrice hessienne d'une fonction par les gradients des contraintes. Dans les problèmes d'optimisation avec contraintes d'égalité résolus par la méthode des multiplicateurs de Lagrange, les signes des déterminants des matrices bordantes successives permettent de déterminer si un point critique est un maximum, un minimum ou un point selle. C'est la généralisation multivariée des conditions du second ordre.
Tangence au maximum contraint du produit xy La droite rouge x plus y égale 2 est tangente à l’hyperbole noire xy égale 1 au point jaune de coordonnées 1, 1. contrainte x + y = 2 niveau xy = 1 maximum (1, 1)
La contrainte x + y = 2 touche la courbe de niveau xy = 1 en (1, 1), où le produit atteint son maximum autorisé.
Sommaire

Ce que vous allez apprendre

  • Identifier les quatre blocs d’une matrice hessienne bordée.
  • Construire la matrice pour maximiser xy sous x + y = 2.
  • Relier le déterminant 2 au maximum contraint et contrôler le résultat par substitution.
  • Reconnaître les gradients dépendants, les déterminants nuls et les conventions qui empêchent une lecture automatique.

En clair

Imaginez une quantité à rendre aussi grande que possible, tandis qu’une règle impose de rester sur une ligne. La courbure de la quantité ne suffit plus : il faut aussi tenir compte de la direction autorisée par cette ligne.
La matrice hessienne bordée réunit ces deux informations. Son centre décrit la courbure et sa bordure encode la contrainte. Les signes de déterminants bien choisis indiquent alors si le point étudié ressemble, parmi les positions autorisées, à un sommet, à un creux ou à aucun des deux.

Définition

On cherche les extrema d’une fonction f de n variables, sous m contraintes d’égalité régulières. Chaque contrainte est écrite sous la forme ci(x)=0c_i(x)=0. Le lagrangien, noté L\mathcal L, combine la fonction et les contraintes au moyen des multiplicateurs λi\lambda_i :
L(x,λ)=f(x)−∑i=1mλici(x)\mathcal L(x,\lambda)=f(x)-\sum_{i=1}^{m}\lambda_i c_i(x)
Au point critique, la matrice hessienne bordée assemble quatre blocs. Le symbole JcJ_c désigne la matrice dont les lignes sont les gradients des contraintes ; le bloc nul a m lignes et m colonnes ; enfin, ∇xx2L\nabla^2_{xx}\mathcal L est la hessienne du lagrangien par rapport aux variables :
B=(0m×mJcJcT∇xx2L)B=\begin{pmatrix}0_{m\times m}&J_c\\J_c^{\mathsf T}&\nabla^2_{xx}\mathcal L\end{pmatrix}
La matrice B est carrée, de taille m+nm+n.
Sous les hypothèses de régularité, les signes d’une suite appropriée de déterminants bordés traduisent la courbure dans les directions compatibles avec les contraintes. Ils fournissent une condition du second ordre pour distinguer minimum, maximum et cas indéterminé. La suite de signes dépend de la convention de construction et du nombre de contraintes ; elle doit donc être annoncée avant l’interprétation.

De quoi c'est fait

Une matrice hessienne bordée comporte quatre pièces liées. Le bloc nul occupe le coin associé aux multiplicateurs. Le jacobien des contraintes place leurs gradients dans la bordure supérieure ; sa transposée forme la bordure gauche. La hessienne du lagrangien remplit le bloc inférieur droit et porte l’information de courbure.
Le nombre de contraintes fixe l’épaisseur de la bordure, tandis que le nombre de variables fixe la taille du bloc hessien. Les deux copies transposées du jacobien rendent l’ensemble carré et symétrique lorsque les dérivées secondes le sont. L’ordre choisi pour les variables et les contraintes fixe celui des lignes, des colonnes et des sous-matrices successives. Ces données suffisent à construire la matrice et à calculer les déterminants requis par le critère adopté.

Un exemple, pas à pas

On maximise le produit de deux nombres réels x et y, sous la contrainte que leur somme vaut 2. Les données sont donc f(x,y)=xyf(x,y)=xy et c(x,y)=x+y−2=0c(x,y)=x+y-2=0.
1. Avec le multiplicateur réel λ\lambda, on forme le lagrangien :
L(x,y,λ)=xy−λ(x+y−2)\mathcal L(x,y,\lambda)=xy-\lambda(x+y-2)
2. Les équations du premier ordre donnent le seul point critique :
y−λ=0,x−λ=0,x+y−2=0y-\lambda=0,\qquad x-\lambda=0,\qquad x+y-2=0
Ainsi, x=y=λ=1x=y=\lambda=1.
3. Le gradient de la contrainte vaut (1,1)(1,1). Avec la convention de la définition, la matrice bordée et son déterminant sont :
B=(011101110),det⁡(B)=2B=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix},\qquad \det(B)=2
4. Pour une contrainte et deux variables avec cette convention, le déterminant positif caractérise ici un maximum contraint. La valeur atteinte est exactement f(1,1)=1f(1,1)=1.
5. Le contrôle se refait sans matrice : sur la contrainte, y=2−xy=2-x, donc
f(x,2−x)=x(2−x)=1−(x−1)2≤1f(x,2-x)=x(2-x)=1-(x-1)^2\leq 1
L’égalité n’a lieu que pour x=1x=1, ce qui confirme le maximum au point (1,1)(1,1). La figure rend visible la tangence entre la contrainte et la courbe de niveau maximale.

En pratique

Dans un exercice à deux variables et une contrainte d’égalité, on résout d’abord les équations de Lagrange. Si plusieurs points critiques subsistent, la matrice bordée aide à les classer sans devoir paramétrer toute la contrainte.
Lorsque la contrainte se résout immédiatement, comme y=2−xy=2-x, la substitution donne une fonction d’une variable. Cette solution est souvent plus courte et fournit un contrôle direct du verdict de la matrice bordée.
Avec plusieurs variables ou plusieurs contraintes, on vérifie d’abord que les gradients des contraintes sont indépendants. On fixe ensuite une convention de bordure et la suite de mineurs correspondante ; si un déterminant décisif s’annule, le test ne conclut pas et il faut étudier directement les directions admissibles ou des termes d’ordre supérieur.

À ne pas confondre

La matrice hessienne ordinaire ne contient que des dérivées secondes. La matrice hessienne bordée ajoute les gradients des contraintes : dans l’exemple, elle a trois lignes, alors que la hessienne en a deux.
Les multiplicateurs de Lagrange servent d’abord à trouver les points critiques contraints. La matrice bordée intervient ensuite pour les classer : résoudre les équations du premier ordre ne dit pas, à lui seul, si (1,1)(1,1) est un maximum.
Un déterminant principal est tiré d’une matrice déjà donnée. Une matrice bordée est d’abord une nouvelle matrice construite avec la hessienne et les contraintes ; ses déterminants successifs sont ensuite calculés selon un ordre annoncé.

Limites et pièges

Le test suppose des contraintes suffisamment régulières. Si leurs gradients sont liés, ou si le gradient d’une unique contrainte est nul au point étudié, la bordure ne décrit plus correctement toutes les directions admissibles. Il faut alors reformuler les contraintes ou analyser directement l’ensemble contraint.
Un déterminant décisif égal à 0 ne prouve ni minimum ni maximum. Il signale un test du second ordre dégénéré ; des termes d’ordre supérieur ou une restriction explicite à la contrainte peuvent trancher.
Le signe brut n’a pas de sens sans convention. Les ouvrages n’emploient pas toujours la même disposition des blocs ni le même étiquetage de la suite de sous-matrices. Il faut construire la matrice et interpréter ses déterminants avec la règle correspondant à la convention annoncée.
Dans l’exemple à deux variables et une contrainte, le déterminant complet vaut 2 et suffit avec les hypothèses annoncées. En dimension supérieure, un seul déterminant final ne remplace pas la suite requise de déterminants bordés ; oublier les termes intermédiaires peut laisser passer un point qui n’est pas un extremum contraint.

Pour aller plus loin

La fiche matrice hessienne détaille le bloc de dérivées secondes qui porte l’information de courbure.
La fiche Multiplicateurs de Lagrange approfondit les équations du premier ordre qui fournissent les points à classer.
La fiche Extremum replace maximum et minimum dans le vocabulaire général de l’optimisation.
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