AlgèbreNotion · Glossaire
Bordant (déterminant)
Le déterminant bordant d'une matrice carrée est un déterminant obtenu en ajoutant une ligne et une colonne supplémentaires à la matrice. Cette technique est utilisée dans la démonstration de certaines propriétés des déterminants et dans la résolution de problèmes d'optimisation sous contraintes. Les déterminants bordants apparaissent notamment dans les conditions du second ordre pour les extrema sous contraintes d'égalité, dans le critère de Bordered Hessian — construit avec les dérivées premières des contraintes et le Hessien de la fonction lagrangienne — pour examiner, sous les hypothèses de régularité et la convention appropriées, si un point critique peut être qualifié d'extremum.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître la matrice agrandie et ses éléments ajoutés.
- Calculer un déterminant bordant sur un exemple.
- Savoir pourquoi une convention et des hypothèses sont nécessaires en optimisation.
En clair
Imaginez une petite matrice carrée écrite sur une feuille. Pour fabriquer sa bordante, on l'entoure d'une ligne et d'une colonne supplémentaires, puis on calcule le déterminant de l'ensemble agrandi. La ligne et la colonne ajoutées ne sont pas un simple cadre décoratif : elles portent les informations qui relient le calcul à une contrainte.
Ce calcul sert notamment à étudier le rang d'une matrice et, dans certains problèmes d'optimisation sous contrainte, à appliquer un critère du second ordre pouvant aider à distinguer un maximum d'un minimum, sous des hypothèses de régularité appropriées et avec le Hessien de la fonction lagrangienne et la convention adéquats. Le mot « bordant » rappelle donc l'opération visible : ajouter un bord organisé autour de la matrice.
Définition
Soit A une matrice carrée de taille n. Un déterminant bordant est le déterminant d'une matrice de taille n + 1 obtenue en ajoutant à A une colonne et une ligne. Dans le cas général, la colonne ajoutée est notée u, la ligne ajoutée vT et le nombre placé à leur intersection est noté c :
Le déterminant de cette matrice agrandie dépend à la fois de A, de la colonne u, de la ligne vT et de c. Selon le choix de ces données, il intervient dans l'étude de propriétés des déterminants, du rang d'une matrice ou de problèmes d'optimisation sous contraintes d'égalité.
Lorsque la matrice agrandie est utilisée pour un critère d'optimisation, ses blocs sont construits à partir des dérivées de la fonction et des contraintes. Le déterminant bordant ne constitue donc pas un critère universel isolé : son interprétation dépend de la convention de construction, du nombre de contraintes et des hypothèses de régularité du point étudié.
Un exemple, pas à pas
Considérons la matrice carrée A = [[1, 2], [3, 4]]. Ajoutons la colonne u = [5, 6]T, la ligne vT = [7, 8] et le nombre c = 9. La matrice bordante obtenue est :
Le développement selon la première ligne donne :
Les trois contributions valent -12, 30 et -20. Leur somme vaut donc -12 + 30 - 20 = -2. Le déterminant bordant de cet exemple est égal à -2. Un contrôle indépendant par la règle de Sarrus donne également 1(4×9 - 6×8) - 2(3×9 - 6×7) + 5(3×8 - 4×7) = -2.
En pratique
Pour étudier le rang d'une matrice, on peut examiner des déterminants de sous-matrices carrées. Un déterminant bordant intervient lorsqu'une sous-matrice est agrandie d'une ligne et d'une colonne ; le calcul sert alors à tester si l'agrandissement conserve ou augmente l'information linéaire.
En optimisation sous contraintes d'égalité, on construit une matrice bordante à partir des dérivées premières des contraintes et du Hessien de la fonction lagrangienne, qui inclut les dérivées secondes des contraintes pondérées par les multiplicateurs. Les signes de déterminants sélectionnés peuvent alors participer au critère du second ordre, sous les hypothèses de régularité et avec la convention appropriée. La préférence pour ce test vient de sa prise en compte explicite des contraintes, contrairement à l'examen du seul Hessien de la fonction.
Dans tous les cas, il faut d'abord identifier la matrice de départ, la ligne et la colonne ajoutées, puis la convention de signe retenue. Une simple lecture du mot « bordant » ne suffit pas à déterminer le verdict.
À ne pas confondre
Une matrice bordante est la matrice agrandie elle-même ; un déterminant bordant est le nombre obtenu après avoir calculé le déterminant de cette matrice. Le critère qui les sépare est donc l'objet manipulé : une structure de nombres dans le premier cas, une valeur scalaire dans le second.
Le déterminant d'une sous-matrice extraite ne devient pas automatiquement bordant. Il faut qu'une ligne et une colonne supplémentaires aient été ajoutées selon une construction identifiée. Une sous-matrice carrée choisie sans cet agrandissement tranche le cas : son déterminant est un mineur, pas nécessairement un déterminant bordant.
Limites et pièges
Le déterminant bordant dépend de la ligne, de la colonne et du nombre ajoutés. Deux constructions qui partent de la même matrice A peuvent donc produire des valeurs différentes. Le symptôme d'une confusion est un résultat annoncé sans préciser les données ajoutées ; il faut alors réécrire la matrice complète avant tout calcul.
En optimisation, le cas d'une seule contrainte ne se traite pas avec la même taille de matrice que celui de plusieurs contraintes. De plus, un déterminant nul ne permet pas à lui seul de conclure à un maximum ou à un minimum : il signale que le test choisi ne tranche pas. Il faut vérifier les hypothèses de régularité et recourir à une analyse d'ordre supérieur ou à une autre méthode.
Enfin, les signes utilisés dans un critère de Hessienne bordée dépendent de l'ordre des lignes et colonnes ainsi que de la convention adoptée. Une permutation peut modifier le signe d'un déterminant. La bonne pratique consiste à conserver une convention annoncée et à ne comparer les signes qu'à l'intérieur de cette convention.
Pour aller plus loin
Pour prolonger la notion, la fiche Bordante (matrice) permet de distinguer la matrice agrandie du déterminant calculé sur cette matrice. Cette distinction aide à nommer précisément l'objet avant d'interpréter sa valeur.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres