Multiplicateurs de Lagrange

Imaginez un rectangle dont la longueur et la largeur doivent totaliser 10. En changeant ses côtés, on respecte toujours cette contrainte, mais l'aire varie. Elle atteint 25 lorsque les deux côtés valent 5 : le rectangle est alors un carré.

Au meilleur choix, un petit déplacement autorisé ne peut plus améliorer l'aire. Le multiplicateur de Lagrange traduit cet équilibre : la variation de l'aire pointe dans la même direction que celle de la contrainte, à un facteur près.

La méthode des multiplicateurs de Lagrange fournit des candidats aux extrema d'une fonction différentiable soumise à une contrainte d'égalité. On note f la fonction à optimiser, g la fonction qui exprime la contrainte, a un point admissible et λ le multiplicateur. Si a est un extremum local de f parmi les points vérifiant la contrainte, et si le gradient de g ne s'annule pas en a, alors les conditions nécessaires s'écrivent :

Le gradient indique la direction de variation la plus rapide. L'égalité signifie qu'au candidat régulier, le gradient de l'objectif est normal à la surface admissible, comme celui de la contrainte. Lorsque les deux niveaux sont réguliers, leurs surfaces sont donc tangentes en ce point. Selon la convention choisie pour le lagrangien, le signe de λ peut être inversé sans changer les candidats. Avec plusieurs contraintes, chacune possède son multiplicateur ; si leurs gradients sont linéairement indépendants, le gradient de f est une combinaison linéaire de ces gradients. Ces équations sont nécessaires, mais pas suffisantes : il faut encore comparer les valeurs, étudier le second ordre ou utiliser un argument global pour conclure à un minimum ou à un maximum.

On cherche le rectangle d'aire maximale parmi ceux dont la longueur x et la largeur y sont strictement positives et ont pour somme 10. Les données sont donc x > 0, y > 0, la fonction aire f et la contrainte g.

1. On traduit l'aire et la contrainte : $f(x,y)=xyf(x,y)=xy$ et $g(x,y)=x+y-10=0g(x,y)=x+y-10=0$.

2. Les gradients valent $\mathrm{\nabla }f(x,y)=(y,x)\backslash nabla\; f(x,y)=(y,x)$ et $\mathrm{\nabla }g(x,y)=(1,1)\backslash nabla\; g(x,y)=(1,1)$.

3. La condition de Lagrange donne le système suivant :

4. Les deux premières égalités imposent x = y. La contrainte donne alors x = y = 5.

5. L'aire obtenue vaut 5 × 5 = 25 unités carrées. Pour contrôler qu'il s'agit du maximum global, on pose y = 10 − x : l'aire vaut exactement 25 − (x − 5)², donc elle ne dépasse jamais 25.

Pour dimensionner un objet avec une quantité totale fixée, on écrit la grandeur à optimiser et l'égalité qui traduit cette quantité. Si l'égalité permet d'isoler immédiatement une variable, la substitution est souvent plus courte ; sinon, les multiplicateurs gardent un rôle symétrique à toutes les variables.

Dans un modèle économique, une dépense exactement égale à un budget peut servir de contrainte. La méthode convient lorsque l'objectif et la contrainte sont différentiables. Si le budget est seulement une borne à ne pas dépasser, les conditions de Karush-Kuhn-Tucker traitent explicitement cette inégalité.

Dans un calcul numérique, les équations de Lagrange produisent d'abord des candidats. On compare ensuite leurs valeurs et l'on examine les bords ou les singularités éventuels. Lorsque le système est trop grand ou non linéaire, une méthode numérique d'optimisation sous contrainte devient préférable à une résolution symbolique.

Point critique sans contrainte. Sans contrainte, un extremum intérieur différentiable impose un gradient nul. Pour des côtés x > 0 et y > 0 soumis à la contrainte x + y = 10, le maximum d'aire est atteint en (5, 5), alors que le gradient de l'aire vaut (5, 5) et n'est pas nul.

Conditions de Karush-Kuhn-Tucker. Elles étendent le raisonnement aux inégalités et ajoutent des conditions de signe et de complémentarité. Une somme imposée égale à 10 relève directement de Lagrange ; une somme seulement inférieure ou égale à 10 appelle ce cadre plus large.

Interpolation de Lagrange. Cette méthode construit un polynôme passant par des points donnés et n'optimise aucune fonction. Si les données sont des couples à interpoler plutôt qu'un objectif et une contrainte, le nom de Lagrange renvoie à une autre notion.

Contrainte singulière. Si le gradient de la contrainte s'annule au point étudié, le théorème classique ne garantit plus l'existence d'un multiplicateur. Par exemple, (x + y − 10)² = 0 décrit la même droite que x + y − 10 = 0, mais son gradient s'annule sur toute cette droite. Il faut employer la seconde écriture, qui est régulière.

Candidat sans verdict. Résoudre le système produit des points stationnaires contraints, pas automatiquement des extrema. Si plusieurs candidats apparaissent, on compare leurs valeurs et l'on étudie les variations admissibles ou le second ordre avant de conclure.

Extremum absent. Une contrainte d'égalité peut définir un ensemble non borné, sur lequel l'objectif n'atteint ni maximum ni minimum. Le système peut alors n'avoir aucun candidat pertinent ; il faut d'abord vérifier l'existence, par exemple grâce à la compacité de l'ensemble admissible et à la continuité de l'objectif.

Contraintes redondantes. Avec plusieurs égalités, des gradients dépendants empêchent la qualification régulière habituelle. Le symptôme est une équation répétée ou combinaison des autres. On retire les contraintes redondantes ou l'on emploie une version adaptée aux contraintes non régulières.

Extremum précise ce que signifient maximum, minimum et caractère local ou global.

Dérivée partielle donne les briques de calcul utilisées pour former un gradient à plusieurs variables.

Inégalité arithmético-géométrique offre une autre preuve du maximum obtenu dans l'exemple du rectangle.

Méthode du gradient : skier pour minimiser prolonge l'étude vers une méthode itérative de minimisation.