lemme de Zassenhaus

Imaginez deux chemins qui traversent un même réseau de sous-groupes. Sur chaque chemin, on regroupe certains éléments puis on oublie ceux d'un sous-groupe plus petit. Le lemme de Zassenhaus affirme que les deux quotients ainsi obtenus ont exactement la même structure.

Le surnom de « lemme du papillon » vient du dessin symétrique formé par ces inclusions. L'intérêt n'est pas la forme du dessin : le résultat permet de comparer deux découpages d'un même groupe.

Le lemme de Zassenhaus porte sur quatre sous-groupes d'un groupe G. Les sous-groupes A et C sont quelconques. Le sous-groupe B est contenu dans A et normal dans A ; le sous-groupe D est contenu dans C et normal dans C. L'intersection A∩C fournit la partie commune aux deux branches.

Sous ces hypothèses, les produits de sous-groupes figurant au numérateur et au dénominateur définissent deux quotients, et le lemme établit l'isomorphisme suivant :

Ici, un produit comme B(A∩C) désigne l'ensemble des produits d'un élément de B par un élément de A∩C. Le symbole ≅ signifie qu'il existe entre les deux quotients une bijection compatible avec leurs lois de groupe. Cette comparaison est le mécanisme qui sert ensuite à raffiner des suites de sous-groupes.

Soient A et C deux sous-groupes d'un groupe G. Si B est normal dans A et si D est normal dans C, alors B(A∩D) est normal dans B(A∩C), tandis que (B∩C)D est normal dans (A∩C)D. On peut donc former les deux groupes quotients, et ils sont isomorphes :

Le cadre est celui d'un seul groupe G. Il faut vérifier trois points : B est inclus dans A, D est inclus dans C, puis B et D sont normaux dans leurs sous-groupes respectifs A et C. Il n'est pas nécessaire que A ou C soient normaux dans G, ni que B et D soient normaux dans G.

Sans normalité, le quotient annoncé peut ne pas être défini. Dans le groupe des permutations de trois objets, le sous-groupe engendré par la transposition (1 2) est contenu dans le groupe entier mais n'y est pas normal : la conjugaison par le cycle (1 2 3) produit une autre transposition. Le lemme ne s'applique donc pas avec ce choix pour B ; il faut d'abord choisir un sous-groupe normal ou employer un résultat ne demandant pas ce quotient.

Prenons le groupe additif G des triplets binaires, additionnés coordonnée par coordonnée modulo 2. Notons e₁=(1,0,0), e₂=(0,1,0) et e₃=(0,0,1). Posons A engendré par e₁ et e₂, B engendré par e₁, C engendré par e₂ et e₃, puis D engendré par e₃. Comme G est abélien, tous ces sous-groupes sont normaux dans les groupes qui les contiennent.

1. L'intersection A∩C est le sous-groupe {0,e₂}. En revanche, A∩D et B∩C sont tous deux réduits à {0}.

2. En notation additive, les produits du lemme deviennent des sommes : B+(A∩D)=B et B+(A∩C)=A. Le quotient de gauche est donc A/B.

3. De l'autre côté, (B∩C)+D=D et (A∩C)+D=C. Le quotient de droite est donc C/D.

4. Les quotients A/B et C/D possèdent chacun deux classes. L'isomorphisme envoie la classe e₂+B sur la classe e₂+D. Le contrôle est immédiat : dans les deux quotients, additionner deux fois la classe non nulle donne la classe nulle. Ils sont donc tous deux isomorphes au groupe à deux éléments.

Pour comparer deux chaînes de sous-groupes normaux, on croise deux étages, on forme les intersections et les produits du lemme, puis on remplace les deux morceaux obtenus par des facteurs isomorphes. C'est le geste local utilisé dans le raffinement de Schreier.

Si le but est seulement de reconnaître un quotient déjà présenté sous la forme d'un produit de deux sous-groupes, un théorème d'isomorphisme peut suffire. Le lemme de Zassenhaus devient préférable lorsque deux couples emboîtés, B dans A et D dans C, doivent être comparés simultanément.

Dans une preuve du théorème de Jordan–Hölder, le lemme intervient en amont : il garantit que les raffinements construits à partir de deux suites de composition ont des facteurs correspondants isomorphes.

Le lemme de raffinement de Schreier. Il compare des suites normales et affirme l'existence de raffinements équivalents. Le lemme de Zassenhaus est l'outil local qui compare deux facteurs lors de cette construction ; il n'est pas l'énoncé global sur les suites.

Le théorème de Jordan–Hölder. Il porte sur les suites de composition et leurs facteurs simples. Si l'on compare seulement les quatre sous-groupes A, B, C et D, c'est le lemme de Zassenhaus qui s'applique ; Jordan–Hölder intervient après le raffinement des suites entières.

Normalité relative. Écrire « B normal » sans préciser le groupe ambiant est ambigu. Le lemme exige B normal dans A et D normal dans C ; il n'exige pas leur normalité dans G. Il faut donc contrôler la conjugaison seulement dans le sous-groupe annoncé.

Ordre des produits. Les écritures B(A∩C) et (A∩C)D ne sont pas de simples juxtapositions. Leur statut de sous-groupes repose sur les hypothèses de normalité. Sans celles-ci, permuter les facteurs ou former un quotient peut être illégitime.

Cas dégénéré. Si A∩C est déjà contenu dans B et dans D, les numérateurs coïncident avec les dénominateurs et les deux quotients sont triviaux. Le lemme reste vrai, mais l'isomorphisme n'apporte alors aucun facteur non nul.

Notation additive. Dans un groupe abélien écrit additivement, les produits deviennent des sommes de sous-groupes. Il faut traduire toute la formule de manière cohérente, comme dans l'exemple, plutôt que mélanger B(A∩C) et B+(A∩C).

Le groupe quotient précise pourquoi la normalité est indispensable et comment les classes héritent d'une loi de groupe.

Le théorème d'isomorphisme donne un autre accès aux identifications de quotients qui sous-tendent le mécanisme du lemme.