Bruhat (décomposition de)

Prenez une matrice inversible et autorisez deux séries de transformations triangulaires, l'une avant et l'autre après une permutation de ses positions. La décomposition de Bruhat affirme que l'on peut ainsi ranger la matrice dans une famille repérée par cette permutation.

La partie essentielle est donc le motif de permutation placé entre les deux facteurs triangulaires. Les facteurs peuvent changer sans changer ce motif : c'est la permutation, et non une paire particulière de matrices triangulaires, qui identifie la double classe.

Soit G un groupe algébrique réductif muni d'un sous-groupe de Borel B. Une double classe est un ensemble formé en multipliant un représentant à gauche et à droite par des éléments de B. La décomposition de Bruhat partage G en doubles classes disjointes, indexées par les éléments du groupe de Weyl associé. Elle s'écrit :

Dans le groupe linéaire GL(n), constitué des matrices carrées inversibles de taille n, on choisit pour B les matrices triangulaires supérieures inversibles. Les indices w sont alors représentés par les matrices de permutation. Pour toute matrice A de GL(n), il existe donc deux matrices b₁ et b₂ dans B et une matrice de permutation P_w telles que $A=b_1{P}_w{b}_{2}A=b\_1P\_wb\_2$. La permutation w est déterminée par la double classe de A ; les deux facteurs triangulaires ne sont généralement pas uniques. L'ordre de Bruhat est un ordre partiel sur ces permutations : certaines paires sont comparables, d'autres non.

Si A est une matrice inversible de taille n et si B désigne le groupe des matrices triangulaires supérieures inversibles de même taille, alors il existe une unique permutation w telle que A appartienne à la double classe $B{P}_{w}BBP\_wB$. Autrement dit, on peut écrire $A=b_1{P}_w{b}_{2}A=b\_1P\_wb\_2$ avec b₁ et b₂ dans B. L'unicité porte sur w, pas sur le choix des deux facteurs triangulaires.

Dans le cadre matriciel, la donnée doit appartenir à GL(n) : elle est carrée et inversible. Le sous-groupe B doit aussi être fixé ; ici, il s'agit des matrices triangulaires supérieures inversibles. Une convention différente, par exemple les matrices triangulaires inférieures, donne une présentation différente des mêmes idées et ne doit pas être mélangée au calcul.

Pour un groupe algébrique réductif, il faut préciser le sous-groupe de Borel et le cadre dans lequel il est défini. Pour un groupe de Lie réel pris sans structure supplémentaire, parler directement de ce B peut ne pas fournir la formulation annoncée. Dans ce contre-cas, on précise d'abord la structure algébrique ou l'on emploie la décomposition adaptée au groupe réel considéré.

Dans GL(3), considérons la matrice A dont les lignes sont (0, 2, 5), (1, 2, 2) et (1, 1, 0). La figure rend visible une factorisation candidate : deux matrices triangulaires supérieures encadrent la matrice qui renverse les trois positions.

Données.
La matrice A à décomposer est donnée dans l'égalité suivante.
Le sous-groupe B est celui des matrices triangulaires supérieures inversibles de taille 3.
La permutation w échange les première et troisième positions et fixe la deuxième.

Étape 1. Prenons les deux facteurs triangulaires b₁ et b₂, ainsi que la matrice de permutation P_w :

Étape 2. Les diagonales de b₁ et b₂ ne contiennent que des 1. Ces matrices sont donc triangulaires supérieures et inversibles : elles appartiennent à B.

Étape 3. La multiplication donne exactement : $b_1{P}_w{b}_2=Ab\_1P\_wb\_2=A$. Ainsi, A appartient à la double classe $B{P}_{w}BBP\_wB$.

Contrôle. Les déterminants des deux facteurs triangulaires valent 1 et celui de P_w vaut −1. Leur produit vaut −1, comme le déterminant de A ; la vérification est compatible avec la factorisation.

Pour classer une matrice inversible, on cherche le motif de permutation qui subsiste après les transformations triangulaires autorisées. Si l'objectif est seulement de résoudre un système linéaire, une élimination de Gauss ou une factorisation LU est plus directe ; la décomposition de Bruhat est préférable lorsque la double classe elle-même porte l'information recherchée.

Pour comparer deux cellules indexées par des permutations, on utilise l'ordre de Bruhat. Un ordre total arbitraire classerait toutes les permutations en file ; l'ordre de Bruhat conserve au contraire la possibilité que deux indices ne soient pas comparables.

Pour vérifier une factorisation proposée dans GL(n), on contrôle séparément que les deux facteurs appartiennent à B, que le facteur central est une matrice de permutation, puis que le produit redonne exactement la matrice initiale.

Décomposition de Bruhat et factorisation LU. Une factorisation LU cherche un produit triangulaire inférieur–triangulaire supérieur. La décomposition de Bruhat encadre une matrice de permutation par deux facteurs appartenant au même B. Dans l'exemple, la permutation centrale renverse deux positions : ce facteur distingue immédiatement les deux constructions.

Double classe et classe à gauche. La double classe de A autorise des multiplications par B des deux côtés. Une classe à gauche n'autorise qu'un facteur à gauche. Si deux matrices ne se relient qu'en utilisant aussi un facteur à droite, elles peuvent appartenir à la même double classe sans appartenir à la même classe à gauche.

Matrice de permutation et permutation. La permutation est la bijection des positions ; la matrice de permutation est sa représentation matricielle. Dans GL(n), cette représentation sert de facteur central, mais les deux objets ne sont pas littéralement de même nature.

Les facteurs triangulaires ne sont pas uniques. Deux couples différents peuvent produire la même matrice avec la même permutation centrale. Le symptôme est une liberté persistante dans les coefficients de b₁ et b₂. Il faut annoncer l'unicité de la double classe, non celle de chaque facteur.

Une matrice singulière n'appartient pas à GL(n). Si son déterminant vaut 0, aucun produit de deux matrices triangulaires inversibles et d'une matrice de permutation ne peut lui être égal. Il faut alors changer de cadre au lieu d'appliquer cet énoncé de Bruhat.

Le choix de B compte. Passer des matrices triangulaires supérieures aux triangulaires inférieures modifie les représentants et l'écriture concrète. Il faut fixer cette convention avant de comparer deux calculs.

L'ordre de Bruhat n'est pas une liste complète. Comme il est partiel, deux permutations peuvent être incomparables. Lorsqu'aucune des deux relations d'ordre ne tient, il faut conserver cette incomparabilité plutôt que forcer un classement.

Le groupe de Lie fournit le cadre continu évoqué par la définition et aide à situer la décomposition parmi les structures de groupes.

La matrice de permutation précise comment une permutation devient le facteur central qui indexe une double classe dans GL(n).