axiome d'idéalisation

Imaginez une règle graduée dont on peut toujours demander une graduation plus fine. Pour les bornes 0, 1 et 2, le nombre 3 convient ; le même raisonnement vaut pour toute collection finie de bornes. L'axiome d'idéalisation autorise alors, dans l'analyse non standard, des objets qui satisfont une famille interne d'exigences dont toute sous-famille standard finie est réalisable. Il rend ainsi pensables des nombres positifs plus petits que toute précision standard et des nombres plus grands que tout entier standard.

Ces objets ne sont pas des erreurs de mesure. Ils appartiennent à un cadre mathématique élargi, où les raisonnements du calcul infinitésimal peuvent être formulés avec des nombres hyperfinis. L'axiome fournit l'existence de ces objets ; d'autres axiomes organisent ensuite leur usage.

L'axiome d'idéalisation est un schéma d'existence de l'analyse non standard, portant sur le prédicat « standard ». Dans un modèle de l'IST et pour des exigences compatibles, certaines de ses instances permettent d'obtenir des objets non standards dans le même cadre formel. Parmi ces objets peuvent figurer un nombre infiniment petit non nul ε vérifiant pour tout réel standard r>0, ou un nombre infiniment grand supérieur à tout entier standard. Il fait partie des trois schémas usuels de l'IST, avec la standardisation et le transfert.

Le mot « standard » désigne ici les objets auxquels le prédicat de standard s'applique ; « non standard » désigne ceux qui ne sont pas standards. Un ensemble hyperfini est un ensemble interne dont le cardinal est un entier hypernaturel. Dans l'exemple étudié, H est un entier hypernaturel supérieur à tout entier standard : il est donc non standard. L'axiome ne transforme pas une approximation physique en nombre infiniment petit et ne constitue pas, à lui seul, une règle de calcul.

Dans la construction complète, l'idéalisation est combinée à la standardisation et au transfert. Cette combinaison relie les objets étendus aux énoncés et aux constructions de l'analyse classique, ce qui permet de fonder le calcul infinitésimal sur des nombres hyperfinis.

Le principe se lit comme une règle d'existence : lorsque les exigences sont exprimées par une relation interne et que toute collection standard finie d'entre elles est compatible, l'idéalisation permet d'obtenir un objet qui satisfait simultanément ces exigences dans l'extension non standard. Le résultat dépend donc des exigences retenues et du cadre axiomatique ; l'axiome ne rend pas toute propriété vraie.

Un cas conducteur est la recherche d'un entier hypernaturel infiniment grand H qui dépasse chaque entier standard n : $H>nH>n$ pour tout n standard. H est alors non standard, car aucun entier standard ne possède cette propriété ; il peut néanmoins intervenir comme borne d'une construction hyperfinie.

L'idéalisation s'applique dans une théorie qui distingue les objets standards des objets non standards et qui fixe les propriétés à satisfaire. Les exigences doivent être exprimées par une relation interne. Ici, « interne » signifie qu'une exigence peut être formulée avec les objets, relations et opérations déjà disponibles dans le langage de la théorie, sans faire intervenir directement la collection de tous les objets standards ; le cadre formel de l'IST en précise les détails. Il faut d'abord que toute collection standard finie d'exigences internes soit réalisable par un objet ; cette compatibilité finie est la condition vérifiable avant l'extension.

Le résultat obtenu est un objet, éventuellement non standard, répondant à toutes les exigences internes considérées ensemble. Si même une collection standard finie d'exigences internes est irréalisable, l'idéalisation ne peut pas corriger ce blocage : il faut modifier les exigences ou choisir un autre principe. Par exemple, demander un entier inférieur à 0 et supérieur à 1 est déjà contradictoire dans le cadre standard.

On cherche un entier hypernaturel infiniment grand H qui dépasse chaque entier standard. Les données de la situation sont les suivantes : le premier entier standard 0 ; un entier standard quelconque n ; une collection finie de bornes 0, 1, …, n ; et l'objet recherché H.

1. Pour une borne standard donnée n, on demande un entier m tel que m > n.
2. Pour les bornes standards 0, 1 et 2, l'entier standard 3 convient.
3. Pour toute collection finie de bornes allant jusqu'à n, l'entier standard n + 1 convient.
4. L'idéalisation rassemble ces compatibilités finies et fournit un entier hypernaturel H qui vérifie $H>nH>n$ pour tout n standard.

Le contrôle est logique plutôt que numérique : si H était standard, H + 1 serait un entier standard supérieur à H, ce qui contredirait la propriété demandée. H est donc non standard ; l'exemple montre le rôle d'existence de l'axiome, pas une méthode ordinaire pour calculer une valeur de H.

Dans une preuve d'analyse non standard, l'idéalisation sert à introduire un objet non standard dont l'existence est nécessaire. Les exigences doivent être internes : le geste consiste à vérifier la compatibilité de chaque collection standard finie d'exigences, puis à invoquer l'axiome pour obtenir l'objet global.

Pour travailler avec des nombres infiniment petits ou hyperfinis, on utilise ensuite les règles du cadre complet, notamment le transfert et la standardisation. Si l'objectif est seulement de calculer une dérivée dans l'analyse classique, la définition par limite est l'alternative appropriée ; l'idéalisation devient pertinente lorsque la preuve exploite explicitement l'extension non standard.

Idéalisation et approximation numérique. Une approximation dépend de la précision finie d'un calcul ou d'une mesure ; l'idéalisation introduit des objets dans une théorie mathématique. Une erreur de 0,001 n'est pas un nombre infiniment petit au seul motif qu'elle est petite.

Idéalisation et transfert. Pour une famille d'exigences internes dont toute sous-famille standard finie est compatible, l'idéalisation garantit l'existence d'un objet qui y répond ; le transfert transporte certaines propriétés entre le cadre standard et le cadre non standard. Une preuve qui utilise seulement l'existence d'un hyperfini n'a pas encore effectué un transfert.

Hyperfinitude et entier hypernaturel infiniment grand. L'hyperfinitude concerne notamment des ensembles internes dont le cardinal est un entier hypernaturel ; ce n'est pas, en général, la propriété de dépasser tous les entiers standards. Dans l'exemple, H est un entier hypernaturel infiniment grand, car il dépasse chaque entier standard. Le test qui tranche pour H est la comparaison avec tous les entiers standards, et non l'apparence finie de l'écriture.

Compatibilité finie insuffisante ou absente. Si une collection standard finie d'exigences est contradictoire, le symptôme est un blocage avant toute extension. Il faut supprimer ou reformuler l'exigence contradictoire ; l'idéalisation ne crée pas de solution à un système impossible.

Petit ne signifie pas infiniment petit. Un nombre positif fixé peut être inférieur à de nombreuses précisions tout en restant supérieur à une précision standard assez petite. Pour parler d'un infiniment petit non nul, il faut une comparaison avec toute précision standard positive, dans le cadre non standard.

Hyperfini ne signifie pas fini au sens standard. Un entier H qui dépasse tout entier standard ne peut pas être un entier standard ordinaire. Le piège apparaît lorsqu'une propriété familière des ensembles finis est appliquée sans vérifier qu'elle est autorisée dans le cadre non standard ; il faut alors préciser si la propriété est interne et si le transfert est disponible.

Analyse non standard — Situer l'idéalisation dans le cadre général qui accueille les objets standards et non standards et relie le calcul hyperfini à l'analyse classique.

Axiome de standardisation — Comprendre le principe complémentaire qui permet d'extraire un objet standard à partir d'une construction non standard adaptée.

Nombre infiniment petit — Examiner l'un des objets non standards dont l'existence et l'usage motivent l'extension de l'analyse classique.