axiome de transfert

Imaginez une collection familière D que l'on agrandit avec de nouveaux objets, dits non standards, dans une extension interne *D. Pour que le transfert s'applique, deux filtres doivent être franchis : la propriété doit pouvoir se dire sans parler du statut « standard » d'un objet, et le domaine standard D ainsi que sa version transférée *D doivent être ceux du cadre mathématique considéré. Les paramètres qui définissent la propriété doivent en outre être standards. La propriété vraie pour chaque objet de D devient alors, sous sa formulation transférée, vraie pour chaque objet de *D, sans demander de vérifier séparément tous les objets ajoutés.

L'axiome de transfert est une règle de l'analyse non standard. Une propriété interne est une propriété formulée dans le langage mathématique autorisé par le cadre considéré, sans utiliser le prédicat « standard » lui-même. Pour une formule interne P(x,a) sur un domaine standard D, dont les paramètres libres a sont standards, l'axiome affirme que la formule est vraie pour tous les x de D si et seulement si sa formulation transférée est vraie pour tous les x de l'extension interne *D. La première formulation porte sur D ; la seconde, interprétée dans la structure étendue, porte sur *D. Ainsi, une assertion interne de l'analyse classique conserve sa valeur lorsqu'elle est interprétée dans l'univers non standard, sous ces hypothèses. La règle ne s'applique pas à une propriété qui mentionnerait directement le statut standard d'un objet. Elle ne dit pas non plus que tout objet de *D est standard ; elle concerne la vérité d'une propriété interne sur deux domaines liés par la construction.

En notation, P(x,a) représente la propriété sur le domaine standard D, sa formulation transférée est notée *P(x,a) sur *D, et a désigne des paramètres libres standards. La forme complète est :

La formule affiche P(x,a) sur D et *P(x,a) sur *D. Le symbole * indique ici la formulation transférée ; il ne signifie pas que tout objet de *D est standard.

Soit P(x,a) une formule interne sur un domaine standard D, dans une structure non standard munie de sa classe d'éléments standards, et supposons ses paramètres libres a standards. Si P(x,a) est vraie pour chaque x de D, alors sa formulation transférée *P(x,a) est vraie pour chaque x de l'extension interne *D. Réciproquement, la validité de *P sur *D redonne la validité de P sur D. La formule transférée est interne et ne comporte que les paramètres standards transférés. Le critère s'écrit :

La conclusion est un transfert de vérité sous ces hypothèses, pas une transformation des objets ni une preuve que la propriété « être standard » est interne.

Pour diagnostiquer si le transfert est disponible, cochez quatre points : la structure distingue des éléments standards et non standards ; la propriété est interne et formulée dans le langage admis ; on a identifié un domaine standard D et son extension interne *D, et la formule transférée est bien définie sur *D ; les paramètres libres sont standards. Si un point manque, il faut suspendre le transfert et rechercher une reformulation ou un autre principe.

Un contre-cas apparaît si P(x) contient directement « x est standard ». Cette propriété sépare précisément les deux classes et n'est pas interne dans le cadre usuel ; le transfert ne peut donc pas la propager. Il faut alors reformuler l'assertion avec une propriété interne, ou utiliser un autre principe de l'analyse non standard.

Considérons la propriété interne P(n) : « n + 0 = n », dans l'extension non standard des nombres naturels. L'exemple ne cherche pas une nouvelle valeur ; il montre comment une vérité familière est transportée.

Données : D = N est le domaine standard des nombres naturels et *D = *N son extension interne ; n appartient à *N ; P(n) est l'égalité n + 0 = n ; la constante 0 est standard. Contrôle : l'égalité n + 0 = n est interne, 0 est standard, et le cadre fournit bien l'extension *N de N ; le transfert est donc applicable. Contre-test directement comparable : si l'on remplace P(n) par « n est standard », la propriété est rejetée, car elle mentionne explicitement « standard » ; elle n'est donc pas interne et le transfert ne s'applique pas.

Pour chaque n appartenant à N, l'addition de zéro conserve n.
La propriété P est interne, car elle ne mentionne pas le mot « standard ».
L'axiome de transfert étend alors cette vérité à chaque n appartenant à *N, y compris les nombres non standards.
Le résultat transféré est donc *P(n), c'est-à-dire n + 0 = n pour tout n de *N.

Le contrôle se fait en deux temps : d'abord vérifier les prérequis — P est interne, D = N est standard et son extension est *D = *N, et 0 est standard — puis appliquer la règle à l'égalité vraie pour tout n de N. Ici, cette application donne n + 0 = n pour tout n de *N, y compris les n non standards.

En calcul infinitésimal non standard, on vérifie souvent une propriété interne P sur un domaine standard D, puis on transporte sa formulation *P aux objets de l'extension interne *D. Le geste consiste à contrôler d'abord la formulation de P, ses paramètres libres — qui doivent être standards —, puis l'identification de D et de *D avant de conclure.

Pour relire une preuve, il faut repérer ce qui relève du langage interne, vérifier que les paramètres libres sont standards, identifier le domaine standard D et son extension *D, puis distinguer ce qui nomme explicitement la standardité. Si la propriété contient cette dernière information, une reformulation ou un autre principe devient nécessaire.

Pour comprendre un résultat classique dans ce cadre, l'alternative est une preuve directe dans l'univers étendu. Elle est préférable lorsque le domaine standard D ou son extension *D n'est pas défini dans le cadre choisi, lorsque l'énoncé dépend explicitement d'un élément non standard ou de la relation « être standard », ou lorsque ses paramètres ne sont pas standards.

L'axiome de transfert ne se confond pas avec la standardisation. Le transfert conserve la vérité d'une propriété interne lorsqu'on passe des éléments standards à la structure étendue ; la standardisation produit, sous des hypothèses propres au cadre, un objet standard représentant certaines données. Le cas qui tranche est une égalité interne comme n + 0 = n, transférable, par opposition à la construction d'un représentant standard, qui relève d'un autre principe.

Il ne se confond pas non plus avec l'idéalisation. Dans le cadre considéré, l'idéalisation est un principe conditionnel qui relie le fait que toute partie finie standard d'une famille de conditions soit vérifiée à l'existence d'un objet vérifiant simultanément ces conditions ; le transfert, lui, relie deux domaines de vérité pour une propriété interne donnée.

Le piège principal consiste à transférer une propriété qui contient « standard ». Le symptôme est une conclusion qui prétend que tous les éléments de l'extension sont standards. Cette conclusion est précisément étrangère au principe ; il faut vérifier l'internalité de la propriété avant tout transfert.

Un autre piège est de changer de domaine sans le dire. Une propriété vraie pour tous les nombres naturels standards ne se transfère qu'à la structure étendue correspondante, sur un domaine interne admissible, avec le même langage et des paramètres libres standards. Si le domaine, la structure, les paramètres ou la propriété change, l'axiome ne fournit pas la nouvelle conclusion.

Enfin, le transfert ne remplace pas une démonstration de l'existence d'une extension non standard. Il intervient après que cette structure et sa classe standard ont été fixées ; sans ce cadre, la formule n'a pas de domaine d'interprétation.

Pour prolonger cette fiche, on peut étudier les deux autres axiomes fondateurs de l'analyse non standard, l'idéalisation et la standardisation. Ils complètent le transfert en traitant respectivement certaines existences et la représentation standard de données ; leur rôle propre doit rester distingué de la conservation d'une vérité interne.