axiome de standardisation

Imaginez une boîte standard et un filtre décrivant une propriété interne. L'axiome de standardisation garantit qu'il existe une autre boîte standard qui contient, parmi les objets standards de la première, exactement ceux qui passent ce filtre. Il ne transforme pas une boîte interne finie en boîte remplie d'objets standards : un objet non standard peut appartenir à un ensemble interne fini. Cette règle aide ainsi à distinguer les objets familiers des objets non standards, notamment lorsqu'apparaissent des nombres infiniment grands ou infiniment petits.

L'axiome de standardisation ne relie pas finitude et standardité. Pour tout ensemble standard A et toute propriété interne φ, il affirme l'existence d'un ensemble standard B qui rassemble exactement, parmi les éléments standards de A, ceux qui vérifient φ. Un ensemble interne est une collection du cadre interne de la théorie ; un élément standard est un objet auquel la théorie attribue le statut de référence ordinaire.

La règle se lit ainsi : A est standard, φ est interne, et il existe un ensemble standard B tel que, pour tout élément standard x de A, x appartient à B si et seulement si φ(x). Le fait qu'un ensemble interne dont tous les éléments sont standards soit fini est un résultat distinct, dont la démonstration peut requérir des principes supplémentaires comme l'idéalisation ou la saturation. Les axiomes de transfert, d'idéalisation et de standardisation ont ainsi des rôles différents.

Soit A un ensemble standard et soit φ(x) une propriété interne. L'axiome de standardisation garantit l'existence d'un ensemble standard B qui sélectionne les éléments de A satisfaisant φ, au moins du point de vue des éléments standards : pour tout x standard, x appartient à B si et seulement si x appartient à A et vérifie φ(x).

En notation condensée, où « st » signifie « standard » et où φ est une formule interne, la règle s'écrit :

La règle s'applique à un ensemble standard A et à une propriété interne φ. Il faut donc établir la standardité de A et l'internalité de la formule, puis construire un ensemble standard B qui coïncide avec la sélection voulue sur les éléments standards de A. La conclusion est une existence, pas une implication entre finitude et standardité.

Un ensemble seulement déclaré interne ne satisfait pas l'hypothèse de standardité requise. De même, sa finitude ne permet pas de conclure que ses éléments sont standards : un singleton interne {H}, où H est non standard, suffit à réfuter cette implication. La finitude d'un ensemble interne dont tous les éléments sont standards relève d'un résultat distinct, à rattacher précisément aux principes supplémentaires utilisés, par exemple l'idéalisation ou la saturation.

Considérons l'ensemble A = {0, 1, 2}. Les trois nombres 0, 1 et 2 sont standards dans le cadre usuel de l'analyse non standard. On peut donc les utiliser comme éléments standards d'un ensemble standard A pour illustrer une sélection par une propriété interne.

Les données sont les suivantes : l'ensemble de départ est A ; A est standard ; ses éléments sont 0, 1 et 2 ; chacun de ces éléments est standard. Prenons par exemple la propriété interne φ(x) : « x est pair ».

La vérification porte sur les éléments standards : 0 est pair, 1 ne l'est pas et 2 est pair. La standardisation garantit alors l'existence d'un ensemble standard B qui correspond à cette sélection sur les éléments standards de A ; dans ce cas, B contient 0 et 2 parmi ces éléments. La finitude de A est une observation indépendante, due au fait que sa liste comporte trois éléments, et non une réciproque de l'axiome.

Cet exemple illustre le rôle de la standardisation : à partir d'un ensemble standard et d'une propriété interne, on obtient un ensemble standard décrivant les éléments sélectionnés, sans attribuer une standardité automatique à tout élément d'un ensemble interne fini.

Pour analyser une sélection dans une démonstration, commencez par préciser que l'ensemble de départ A est standard et que la propriété φ utilisée est interne. Ces repères évitent d'appliquer l'axiome à une collection ou à une formule dont le statut n'est pas établi.

Appliquez alors la standardisation pour obtenir un ensemble standard B qui correspond à la sélection sur les éléments standards de A. La finitude d'un ensemble interne ne fournit pas, à elle seule, la standardité de ses éléments ; ne l'utilisez donc pas comme réciproque.

Lorsque les hypothèses de standardité de A ou d'internalité de φ manquent, suspendez cette conclusion. Il faut alors rechercher le principe effectivement requis par le problème, par exemple le transfert, l'idéalisation ou un résultat de saturation.

L'axiome de standardisation ne se confond pas avec l'axiome de transfert. Le critère qui les sépare est leur conclusion : la standardisation construit un ensemble standard correspondant, sur les éléments standards d'un ensemble standard, à une propriété interne ; le transfert conserve certaines vérités lorsqu'on passe du cadre standard au cadre non standard. Par exemple, le fait que 0, 1 et 2 soient standards permet d'étudier A = {0, 1, 2}, mais sa finitude n'est pas une conclusion de la standardisation.

Il ne faut pas non plus confondre standardité et appartenance à un ensemble fini. Un ensemble interne fini peut contenir un élément non standard, comme le singleton {H} lorsque H est non standard. L'internalité et la finitude ne suffisent donc pas ; il faut appliquer la standardisation avec un ensemble standard et une propriété interne, dans les limites de son énoncé.

Le piège principal consiste à oublier les hypothèses exactes. La standardisation porte sur un ensemble standard A et une propriété interne φ ; elle produit un ensemble standard qui décrit la sélection voulue sur les éléments standards de A. Une collection seulement interne ne suffit pas.

Un autre piège consiste à confondre standardisation et finitude. Le fait qu'un ensemble interne contienne uniquement des éléments standards peut conduire à un résultat de finitude dans un cadre muni de principes supplémentaires, mais ce n'est pas l'axiome de standardisation lui-même.

Enfin, l'implication « ensemble interne fini, donc tous ses éléments standards » est fausse. Le singleton interne {H}, où H est un élément non standard, est un contre-exemple : internalité et finitude ne suffisent pas à établir la standardité.

Pour situer cet axiome dans son cadre théorique, consultez le glossaire analyse non standard. Vous y gagnerez une vue d'ensemble des objets standards et non standards avant d'étudier le rôle particulier de la standardisation parmi les axiomes fondateurs.