AnalyseNotion · Glossaire
Petit O
On dit qu'une fonction f(x) est un petit o de g(x) en un point a (noté f = o(g) au voisinage de a) si le rapport f(x)/g(x) tend vers zéro quand x tend vers a. Cela exprime que f est négligeable devant g au voisinage de a. Cette notation, introduite par Landau, est utilisée dans les développements asymptotiques et les développements limités. Par exemple, sin(x) = x + o(x) au voisinage de zéro signifie que sin(x) - x est négligeable devant x.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter f = o(g) comme un quotient qui tend vers zéro.
- Vérifier la relation pas à pas sur x² et x près de zéro.
- Distinguer petit o, grand O, équivalence et égalité ordinaire.
- Employer la notation avec un voisinage et une fonction de comparaison explicites.
En clair
Près de zéro, comparons le carré d’un nombre à ce nombre lui-même. Pour x = 0,1, x² vaut 0,01 : il est dix fois plus petit que x. Pour x = 0,01, x² vaut 0,0001 : il est cent fois plus petit.
Le rapport x²/x se rapproche donc de zéro. C’est ce que dit le petit o : à l’échelle de x, le terme x² devient négligeable lorsque x approche zéro.
Définition
Soient deux fonctions f et g définies au voisinage d’un point a. On écrit que f est un petit o de g lorsque le quotient de f(x) par g(x) tend vers zéro quand la variable x tend vers a : . Le quotient doit être défini dans un voisinage privé de a ; la valeur prise exactement en a n’intervient pas dans cette limite.
Cette relation signifie que f devient négligeable devant g au voisinage considéré. Elle est orientée : savoir que f = o(g) ne permet pas d’inverser les rôles. Avec f(x) = x² et g(x) = x près de zéro, le quotient vaut x et tend vers zéro, donc x² = o(x).
Introduite par Landau, la notation sert notamment dans les développements asymptotiques et les développements limités. L’écriture sin(x) = x + o(x) au voisinage de zéro affirme précisément que le reste sin(x) − x, comparé à x, a un quotient qui tend vers zéro.
Un exemple, pas à pas
Prenons f(x) = x², g(x) = x et le point a = 0. Les deux fonctions sont définies autour de zéro, et g(x) n’est pas nul dès que x ≠ 0. Nous voulons décider si f est négligeable devant g près de zéro.
1. Formons le quotient demandé par la définition.
2. Pour x non nul, simplifions ce quotient : .
3. Faisons tendre x vers zéro : .
3. Faisons tendre x vers zéro : .
Ainsi, x² = o(x) au voisinage de zéro. Un contrôle numérique donne les rapports 0,1 puis 0,01 pour x = 0,1 puis x = 0,01 : ils diminuent bien vers zéro. Le tracé des deux courbes et du quotient rend visible ce changement d’échelle.
En pratique
Dans un développement limité, le petit o isole le reste devenu négligeable à l’échelle du dernier terme conservé. L’écriture sin(x) = x + o(x) près de zéro autorise ainsi à retenir x comme approximation principale.
Pour comparer deux fonctions, on calcule leur quotient. Si ce quotient tend vers zéro, on emploie le petit o ; s’il reste seulement borné, le grand O est l’information adaptée.
Dans un calcul asymptotique, on peut écarter un terme en petit o après avoir nommé la fonction de comparaison et le voisinage. Sans ces deux repères, le mot « négligeable » ne donne aucune information vérifiable.
À ne pas confondre
Petit o et grand O. Le petit o impose que le quotient tende vers zéro. Le grand O exige seulement que ce quotient reste borné en valeur absolue. Près de zéro, x² est à la fois o(x) et O(x), tandis que x est O(x) mais n’est pas o(x).
Petit o et équivalence. Dire que f est équivalente à g signifie que f(x)/g(x) tend vers 1, et non vers 0. Ainsi, sin(x) est équivalente à x près de zéro, alors que le reste sin(x) − x est un petit o de x.
Petit o et égalité ordinaire. L’écriture f = o(g) décrit un comportement au voisinage d’un point ; elle ne signifie pas que f(x) vaut zéro. Par exemple, x² n’est pas nul pour x ≠ 0, bien qu’il soit o(x) près de zéro.
Limites et pièges
Le voisinage doit être précisé. Une même comparaison peut changer avec le point étudié. Le quotient x²/x tend vers 0 lorsque x tend vers 0, mais sa valeur absolue grandit lorsque x s’éloigne vers l’infini. Il faut donc toujours écrire ou nommer la limite concernée.
Le dénominateur peut s’annuler au point limite. Dans x²/x, le quotient n’est pas défini en 0, mais il l’est pour tout x non nul assez proche de 0. On travaille dans ce voisinage privé, puis on calcule la limite.
La comparaison n’est pas symétrique. De x² = o(x) près de zéro, on ne peut pas conclure x = o(x²). Le quotient inverse vaut 1/x et ne tend pas vers zéro. Il faut conserver l’ordre des deux fonctions.
Une apparente petitesse numérique ne suffit pas. Quelques valeurs faibles ne prouvent pas une limite. Le symptôme est un quotient qui oscille ou cesse de diminuer en se rapprochant du point. Il faut étudier sa limite, et non extrapoler une courte liste de valeurs.
Pour aller plus loin
notation de Landau — Situe le petit o dans la famille des notations qui comparent les ordres de grandeur.
Grand O — Précise le critère de quotient borné et permet de le distinguer d’un quotient qui tend vers zéro.
Développements limités — Montre comment un terme principal et un reste en petit o organisent une approximation locale.
développement asymptotique — Prolonge la comparaison des termes lorsque plusieurs échelles successives interviennent.
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