Dini Ulisse

En 1886, Ulisse Dini devient professeur à l'université de Pise, où il enseigne notamment l'algèbre, la géométrie et l'analyse. Il défend une analyse fondée sur des conditions précises, plutôt que sur la seule intuition.

Son nom reste attaché à deux idées. Les théorèmes de Dini indiquent quand une convergence fonction par fonction devient uniforme sur tout un ensemble. Les dérivées de Dini décrivent, par quatre valeurs limites, le comportement local d'une fonction même lorsque la dérivée ordinaire n'existe pas.

Ulisse Dini est un mathématicien et homme politique italien né à Pise en 1845 et mort en 1918. Formé à l'université de Pise sous la direction d'Enrico Betti, puis à Paris auprès de Charles Hermite et Joseph Bertrand, il devient professeur à Pise en 1886. Il y enseigne l'algèbre et la géodésie avant de succéder à Betti en géométrie et en analyse. Il devient sénateur en 1892.

Ses recherches concernent la géométrie différentielle, les séries, l'intégration des fonctions d'une variable complexe et les séries de fonctions. Elles participent surtout à la refondation rigoureuse de l'analyse. Un théorème de Dini affirme que, sur un espace compact, une suite monotone de fonctions continues qui converge simplement vers une fonction continue converge aussi uniformément. La monotonie porte ici sur l'indice : en chaque point, les valeurs vont toutes dans le même sens.

Les dérivées de Dini étendent une autre idée de l'analyse. Pour une fonction réelle f et un point x, on étudie le taux d'accroissement $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\backslash frac\{f(x+h)-f(x)\}\{h\}$. En faisant tendre h vers 0 par valeurs positives ou négatives, puis en prenant une limite supérieure ou inférieure, on obtient quatre dérivées de Dini, éventuellement infinies. Si la dérivée ordinaire existe en x, ces quatre valeurs coïncident avec elle.

Considérons, sur l'intervalle fermé [0 ; 1/2], la suite de fonctions définie par f_n(x) = xⁿ, où n est un entier au moins égal à 1. Le graphique montre quelques courbes de cette même suite et la diminution de leur hauteur maximale.

Données.
L'espace [0 ; 1/2] est compact.
Chaque fonction f_n est continue.
Pour tout x de l'intervalle, 0 ≤ x ≤ 1/2.
La fonction limite attendue est la fonction nulle.

Étape 1. Puisque 0 ≤ x ≤ 1/2, multiplier xⁿ par x ne l'augmente pas. Ainsi, pour chaque x, la suite des valeurs f_n(x) décroît vers 0. La convergence est simple et la limite est continue.

Étape 2. Sur tout l'intervalle, l'écart à la fonction nulle est maximal en x = 1/2. Il vaut donc :

Étape 3. Pour rendre cet écart inférieur à 0,01, n = 6 ne suffit pas, car 2⁻⁶ = 0,015625. Avec n = 7, on obtient 2⁻⁷ = 0,0078125. Le même rang 7 convient donc à tous les points de l'intervalle : la convergence est uniforme, conformément au théorème de Dini.

Pour étudier une suite de fonctions continues sur un compact, le théorème de Dini évite parfois de majorer directement l'erreur. Si la limite est continue et si les valeurs évoluent toutes de façon monotone, la convergence simple suffit pour conclure à la convergence uniforme. Sans monotonie, il faut revenir à une estimation uniforme explicite.

Pour une fonction qui présente un angle ou des oscillations près d'un point, les dérivées de Dini remplacent la recherche d'une unique pente par quatre examens : à droite et à gauche, en limite supérieure et en limite inférieure. Si ces valeurs ne coïncident pas, la dérivée ordinaire n'existe pas à ce point.

Pour replacer Dini dans l'histoire des mathématiques, ses travaux relient plusieurs chantiers de l'analyse : séries, intégration complexe, suites de fonctions et exigence de démonstrations rigoureuses. Cette lecture éclaire pourquoi son nom désigne aujourd'hui plusieurs résultats plutôt qu'une seule formule.

Convergence simple et convergence uniforme. La convergence simple autorise un rang de précision différent pour chaque point. La convergence uniforme impose un même rang pour tous les points. Dans l'exemple f_n(x) = xⁿ sur [0 ; 1/2], n = 7 rend partout l'erreur inférieure à 0,01.

Dérivée ordinaire et dérivées de Dini. La dérivée ordinaire exige une limite bilatérale unique et finie du taux d'accroissement. Les dérivées de Dini conservent séparément les comportements supérieur et inférieur de chaque côté. Elles peuvent donc exister comme valeurs étendues sans fournir une dérivée ordinaire.

Théorème de Dini et dérivées de Dini. Le premier porte sur le passage de la convergence simple à la convergence uniforme d'une suite de fonctions. Les secondes décrivent le comportement local d'une seule fonction près d'un point. Le nom commun ne signifie pas que les deux outils traitent le même problème.

Le compact ne peut pas être supprimé. Sur [0 ; 1[, les fonctions xⁿ sont continues, décroissent simplement vers 0 et leur limite est continue. Pourtant leur supremum vaut 1 pour tout n : la convergence n'est pas uniforme. Il faut donc vérifier la compacité du domaine avant d'appliquer le théorème.

La continuité de la limite est essentielle. Sur [0 ; 1], la suite xⁿ converge simplement vers 0 pour x < 1 et vers 1 en x = 1. Cette limite discontinue empêche la conclusion uniforme, même si les fonctions sont continues et la suite décroissante.

La monotonie concerne toute la suite. Il ne suffit pas que quelques valeurs diminuent ni que chaque fonction soit monotone en x. Pour chaque point x, la comparaison entre f_n+1(x) et f_n(x) doit garder le même sens au fil des indices. Sinon, le théorème de Dini ne s'applique pas directement.

Une dérivée de Dini peut être infinie. Les limites supérieure et inférieure sont prises dans les réels étendus. Une valeur infinie décrit une croissance du taux d'accroissement sans borne ; elle ne doit pas être présentée comme une pente réelle ordinaire.

La Convergence simple précise le point de départ du théorème de Dini : chaque point possède son propre rang de précision.

La convergence uniforme expose la conclusion plus forte : un même rang contrôle simultanément tous les points du domaine.

Une série de fonctions prolonge l'étude des suites de fonctions vers les sommes, autre domaine des recherches attribuées à Dini.

L'analyse fonctionnelle situe le cadre d'analyse auquel la définition source rattache la part prépondérante de ses recherches.