AnalyseThéorème · Glossaire
Limite monotone (théorème de)
Le théorème de convergence monotone (ou théorème de Beppo Levi) affirme que si une suite de fonctions mesurables positives est croissante presque partout et converge vers une fonction limite, alors l'intégrale de la limite est égale à la limite des intégrales. Formellement, si f_n est croissante et converge vers f, alors l'intégrale de f est la limite des intégrales des f_n. Ce résultat est fondamental en théorie de l'intégration de Lebesgue car il permet d'intervertir limite et intégrale sous des hypothèses de monotonie.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les trois hypothèses de mesurabilité, positivité et croissance presque partout.
- Lire l’égalité qui autorise l’échange entre limite et intégrale.
- Refaire le calcul des indicatrices de [1/n, 1].
- Distinguer Beppo Levi de la convergence dominée et du théorème des suites monotones.
En clair
Sur l’intervalle [0, 1], colorions d’abord [1/2, 1], puis [1/4, 1], puis [1/8, 1]. La zone colorée grandit sans jamais reculer. Sa longueur passe de 1/2 à 3/4, puis à 7/8, et se rapproche de 1.
Le théorème de convergence monotone dit que, pour ce type d’agrandissement régulier, on peut calculer après le passage à la limite. Lorsque les fonctions restent positives et croissent presque partout, l’aire de leur limite est la limite de leurs aires. C’est le théorème de Beppo Levi.
Définition
Le théorème de convergence monotone, aussi appelé théorème de Beppo Levi, concerne une suite de fonctions sur un espace muni d’une mesure. On note fn la fonction de rang n et x un point de l’espace. Chaque fonction doit être mesurable, positive ou nulle. La croissance signifie que pour presque tout x.
Si cette suite converge presque partout vers une fonction limite notée f, alors f est mesurable et son intégrale de Lebesgue est la limite des intégrales des fonctions fn. L’égalité reste valable lorsque cette valeur est +∞ : le théorème garantit l’échange entre limite et intégrale, pas que l’intégrale obtenue soit finie.
Le principe
Si, sur un espace muni d’une mesure μ, chaque fonction fn est mesurable et positive, si la suite croît presque partout et si elle converge presque partout vers une fonction f, alors :
Autrement dit, sous ces hypothèses, intégrer chaque approximation puis passer à la limite donne le même résultat que passer d’abord à la fonction limite puis l’intégrer.
Quand l'utiliser
Le cadre est celui de l’intégrale de Lebesgue sur un espace mesuré. Trois contrôles sont nécessaires. Chaque fonction est mesurable. Ses valeurs sont positives ou nulles. Enfin, pour presque tout point, les valeurs ne diminuent jamais lorsque le rang n augmente. La limite peut être finie ou valoir +∞.
Le résultat obtenu est une égalité entre l’intégrale de la limite et la limite de la suite des intégrales. Aucune domination par une fonction intégrable n’est demandée.
Un contre-cas montre pourquoi la croissance doit être vérifiée. Sur (0, 1], la fonction gn vaut n sur (0, 1/n] et 0 ailleurs. Elle tend presque partout vers 0, mais son intégrale vaut toujours 1. La suite n’étant pas croissante, le théorème ne s’applique pas ; il faut une autre justification, par exemple la convergence dominée lorsqu’un majorant intégrable commun existe.
Un exemple, pas à pas
On travaille sur [0, 1], muni de la mesure de longueur. Pour chaque entier positif n, la fonction fn est l’indicatrice de [1/n, 1] : elle vaut 1 sur cet intervalle et 0 ailleurs. Ces fonctions sont mesurables et positives. Le graphique des intervalles emboîtés rend visible la portion dont la longueur est intégrée.
Étape 1. Lorsque n augmente, le point 1/n se rapproche de 0. Les intervalles [1/n, 1] grandissent, donc fn ne diminue en aucun point.
Étape 2. Pour tout x strictement positif, x appartient finalement à [1/n, 1]. La limite f vaut donc 1 sur (0, 1] et 0 au point x = 0.
Étape 3. L’intégrale de fn est la longueur de son intervalle support : .
Étape 4. La limite des intégrales vaut 1. L’intégrale de f vaut aussi 1, car le seul point où f ne vaut pas 1 est de longueur nulle. Le contrôle se refait avec n = 2, 4 et 8 : on obtient 1/2, 3/4 et 7/8, des valeurs croissantes vers 1.
En pratique
Dans une démonstration, le théorème sert lorsque l’on approche une fonction positive par des fonctions mesurables de plus en plus grandes. Le geste décisif consiste à vérifier la croissance point par point. Si les approximations montent et descendent, on préfère la convergence dominée lorsqu’un majorant intégrable commun les contrôle.
En probabilités, les indicatrices d’une suite croissante d’événements forment exactement ce type de famille. Intégrer ces indicatrices transforme l’agrandissement des événements en croissance de leurs probabilités. Si les événements ne sont pas emboîtés mais que leurs indicatrices convergent, la convergence dominée devient l’alternative naturelle, car ces fonctions restent comprises entre 0 et 1.
À ne pas confondre
Théorème des suites monotones. Pour une suite de nombres réels, le critère déterminant est la monotonie accompagnée d’une borne, et la conclusion porte sur la convergence de la suite. Le théorème de Beppo Levi concerne des fonctions mesurables positives et conclut sur leurs intégrales. La suite un = 1 − 1/n relève du premier résultat lorsqu’elle est étudiée seule.
Théorème de convergence dominée. Celui-ci autorise une suite de fonctions qui n’est pas monotone, à condition qu’un même majorant intégrable contrôle leurs valeurs absolues. Si les fonctions oscillent tout en restant sous un tel majorant, la convergence dominée est la distinction qui tranche ; si elles croissent et restent positives, Beppo Levi suffit.
Limites et pièges
Une égalité éventuellement infinie. Si les intégrales dépassent toute borne finie, leur limite et l’intégrale de f valent +∞. Le théorème reste vrai, mais il ne prouve pas que f est intégrable au sens d’une intégrale finie ; il faut annoncer explicitement la valeur +∞.
Une exception sur un ensemble négligeable. « Presque partout » autorise l’échec de la croissance sur un ensemble de mesure nulle. Dans l’exemple conducteur, le point x = 0 ne change pas l’intégrale. Si l’échec occupe un ensemble de mesure positive, il faut rétablir la monotonie ou choisir un autre théorème.
Des fonctions signées. La positivité ne peut pas être simplement oubliée. Si toutes les fonctions possèdent une même borne inférieure intégrable h, on peut étudier la suite positive fn − h. Sans une telle réduction, l’énoncé de Beppo Levi donné ici ne justifie pas l’échange.
Pour aller plus loin
intégrale de Lebesgue — Situer le cadre d’intégration dans lequel le théorème échange limite et intégrale.
fonction mesurable — Préciser la condition imposée à chaque terme de la suite.
Presque partout — Interpréter exactement les exceptions de mesure nulle admises dans les hypothèses.
théorème de convergence dominée de Lebesgue — Choisir une alternative lorsque la suite n’est pas monotone mais possède un majorant intégrable.
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