Presque partout

Imaginez un segment couvert de points. Une règle fonctionne en chacun d'eux, sauf peut-être sur quelques points si peu importants pour la mesure qu'ils ne représentent aucune longueur. La règle est alors vraie presque partout.

« Presque » ne signifie donc ni « souvent » ni « avec une petite erreur ». Les exceptions peuvent exister, mais leur ensemble doit avoir une mesure nulle. Sur une droite munie de la mesure de longueur, un point isolé remplit cette condition.

On se place dans un espace mesuré : un ensemble de points X est muni d'une mesure μ, qui attribue une taille aux ensembles mesurables. Pour une propriété P portant sur les points de X, on note E l'ensemble mesurable des points où P est fausse. La propriété P est vraie presque partout lorsque :

La mesure fait partie de l'énoncé : un même ensemble peut être négligeable pour une mesure et ne pas l'être pour une autre. Pour une suite de fonctions, la convergence presque partout vers une fonction signifie que la convergence ponctuelle vaut hors d'un ensemble de mesure nulle. En probabilités, où la mesure est une probabilité, la formulation correspondante est « presque sûrement ». En intégration de Lebesgue, deux fonctions mesurables intégrables qui diffèrent seulement sur un ensemble de mesure nulle ont la même intégrale. Les espaces L^p identifient ainsi les fonctions égales presque partout : leurs valeurs ponctuelles peuvent différer sur un ensemble négligeable, mais elles représentent le même élément de l'espace.

Données. On considère l'intervalle réel [0, 1] avec sa mesure de longueur. Pour chaque entier positif n, la fonction f_n associe à un nombre x la puissance $x^{n}x^n$. On compare la suite à la fonction constamment nulle.

1. Choisissons un nombre x avec 0 ≤ x < 1. Ses puissances successives se rapprochent de 0 lorsque n augmente.

2. Au point x = 1, toutes les valeurs f_n(1) valent exactement 1. La suite n'y converge donc pas vers 0.

3. L'ensemble exceptionnel est le singleton {1}. Sa longueur est nulle, donc la suite f_n converge presque partout vers 0 sur [0, 1].

Contrôle. Pour x = 1/2, les valeurs 1/2, 1/4, 1/8 puis 1/16 se rapprochent de 0. Au point 1, la valeur reste 1 : la figure matérialise cette unique exception sans la faire disparaître.

Pour étudier une convergence presque partout, on cherche d'abord les points où la convergence ponctuelle échoue. On mesure ensuite cet ensemble d'exceptions. Si sa mesure est nulle, le verdict « presque partout » est justifié ; sinon, il faut décrire une convergence sur un sous-ensemble plus restreint.

Pour calculer une intégrale de Lebesgue, on peut remplacer une fonction mesurable intégrable par une autre fonction mesurable intégrable qui diffère seulement sur un ensemble de mesure nulle. Ce remplacement est utile lorsqu'il simplifie l'expression. Si les fonctions diffèrent sur un ensemble de mesure positive, cette identification n'est plus permise.

Dans un espace L^p, on raisonne sur des classes de fonctions égales presque partout. Avant de parler de la valeur d'un élément en un point précis, il faut donc choisir un représentant ; une égalité dans L^p ne garantit pas une égalité en chaque point.

Partout. Une propriété vraie partout n'admet aucune exception. La suite des puissances successives de x ne converge pas partout vers 0 sur [0, 1], puisqu'elle échoue en 1, mais elle y converge presque partout.

Presque sûrement. Cette expression appartient au langage des probabilités : l'ensemble des échecs doit avoir une probabilité nulle. Le mécanisme est celui de « presque partout », mais la mesure considérée est explicitement une mesure de probabilité.

Vrai sur un ensemble dense. Un ensemble dense rencontre tout intervalle ouvert, mais il peut avoir une mesure nulle. La densité décrit la répartition des points ; « presque partout » décrit la mesure de l'ensemble exceptionnel. Aucun des deux critères ne remplace l'autre.

La mesure doit être précisée. Pour la mesure de longueur sur [0, 1], le singleton {1} a une mesure nulle. Pour la mesure de Dirac concentrée en 1, ce même singleton a une mesure égale à 1. Il est donc incorrect d'affirmer qu'une propriété vaut presque partout sans cadre mesuré explicite ou convenu.

Nul ne signifie pas vide. Pour la mesure de longueur sur la droite, l'ensemble exceptionnel peut contenir un point, une infinité dénombrable de points et même certains ensembles non dénombrables. Il faut vérifier sa mesure, pas seulement compter ou chercher des exceptions.

Une conclusion ponctuelle reste interdite. De l'égalité presque partout de deux fonctions, on ne peut pas déduire leur égalité en un point donné. Dans L^p, une classe d'équivalence n'a même pas de valeur ponctuelle intrinsèque tant qu'un représentant n'est pas choisi.

Le type de convergence compte. Une convergence presque partout est une convergence ponctuelle hors d'un ensemble négligeable. Elle ne fournit pas, à elle seule, une convergence uniforme ni le droit d'intervertir limite et intégrale ; ces conclusions exigent des hypothèses supplémentaires.

La poussière dans les coins prolonge la réflexion sur la théorie de la mesure et la manière dont elle attribue une taille aux ensembles.

Lebesgue Henri apporte le contexte biographique de l'intégration dans laquelle l'égalité presque partout joue un rôle central.

Calcul des probabilités : ouvre le cadre probabiliste où « presque sûrement » traduit la même idée avec une mesure de probabilité.