La poussière dans les coins

Nettoyer, balayer, astiquer, la maison est toujours pimpante. Enfin, tant que l’on ne regarde pas trop dans les coins où, inexorablement, se retrouve encore et toujours un peu de poussière résiduelle. Vous détournez le regard ? Vous vous dites sûrement que cette imperfection dans votre ménage est si discrète qu’elle doit apparaître négligeable dans les yeux de vos invités.

Loin de vouloir s’immiscer dans la tenue de votre maison, les mathématiques disposent toutefois de théorèmes pour vous signaler que ce n’est pas le cas et que d’infimes poussières peuvent apparaître bien plus conséquentes qu’il n’y paraît si on les regarde sous le bon angle. Pour illustrer ce résultat, on va tracer un plan de votre salon sur une feuille de papier, puis identifier votre salon et la zone de celui-ci qui n’est pas nettoyée à des parties du plan euclidien ordinaire, et enfin se ramener à des considérations géométriques (en apparence) élémentaires.

Votre jeune nièce a commencé les cours d’informatique et ça la passionne : elle en parle tout le temps et dès qu’elle en a l’occasion, elle programme ! Sur son ordinateur, bien sûr, mais aussi sur tout ce qui peut être programmé… C’est comme ça que votre petit robot aspirateur se retrouve à illustrer son cours sur la récursivité dans un curieux ballet dont les mouvements successifs rappellent la réalisation habituelle de l’ensemble fractal de Cantor (voir encadré).

Votre salon est une pièce de forme carrée dont le côté est de longueur c. Pour simplifier le dessin et les explications, on va dire qu’il s’agit plus précisément du carré dont les sommets sont l’origine et les points de coordonnées (c, 0), (c, c), et (0, c) : on a ainsi choisi de munir le plan d’un repère orthonormé centré sur un coin de la pièce et dont les axes correspondent aux murs se rencontrant en ce coin. Initialement, c’est-à-dire, avant le début du ménage, l’ensemble de cette pièce / de ce carré est couvert de poussière.