Limpiar, barrer, abrillantar: la casa está siempre reluciente. Bueno, siempre que no se mire demasiado en los rincones, donde, inexorablemente, vuelve a acumularse una y otra vez algo de polvo residual. ¿Aparta usted la mirada? Seguro que piensa que esa imperfección en la limpieza es tan discreta que debe de parecer insignificante a ojos de sus invitados.
Sin querer entrometerse en el cuidado de su casa, las matemáticas disponen, no obstante, de teoremas para señalarle que no es así y que unas partículas de polvo ínfimas pueden resultar mucho más importantes de lo que parecen si se las observa desde el ángulo adecuado. Para ilustrar este resultado, vamos a dibujar el plano de su salón en una hoja de papel, identificar después su salón y la zona que no se ha limpiado con partes del plano euclídeo ordinario y, por último, reducirnos a consideraciones geométricas aparentemente elementales.
Un barrido aparentemente satisfactorio -----------------------------------------
Su joven sobrina ha empezado las clases de informática y le apasionan: habla de ello todo el tiempo y, en cuanto tiene ocasión, ¡programa! En el ordenador, claro, pero también en todo lo que se pueda programar… Así es como su pequeño robot aspirador acaba ilustrando su lección sobre recursividad en un curioso ballet cuyos movimientos sucesivos recuerdan la construcción habitual del conjunto fractal de Cantor (véase el recuadro).
Su salón es una habitación cuadrada de lado c. Para simplificar el dibujo y las explicaciones, diremos con mayor precisión que se trata del cuadrado cuyos vértices son el origen y los puntos de coordenadas (c, 0), (c, c) y (0, c): hemos elegido así dotar el plano de un sistema de referencia ortonormado con origen en una esquina de la habitación y cuyos ejes corresponden a las paredes que se encuentran en esa esquina. Inicialmente, es decir, antes de empezar la limpieza, toda la habitación, o todo el cuadrado, está cubierta de polvo.