La medida y el azar son nociones que parecen banales, pero cuya definición matemática es mucho más compleja y amplia de lo que sugiere la intuición. Así lo muestran la medida de Lebesgue, los números normales de Borel y la conjetura de Borel.
¿Se puede tomar un punto al azar en un segmento? ¿Cómo hacerlo y cómo utilizar esta operación? ¿Qué es un subconjunto cualquiera de la recta o del plano? Los avances de las matemáticas impusieron estas preguntas a los investigadores a comienzos del siglo XX. Émile Borel estuvo en primera línea para afrontar el desafío. Nuestra historia comienza en Grecia, donde los antiguos, contemporáneos e incluso predecesores de Platón, practicaban la geometría, en particular los cálculos de áreas y volúmenes y el trazado de tangentes. Un nombre se impone: Arquímedes, nacido hacia el año 287 y fallecido en 212 antes de nuestra era en Siracusa, uno de los mayores sabios de la Antigüedad. Realizó impresionantes cálculos de áreas y volúmenes gracias al método de exhaución, antecesor del cálculo infinitesimal.
Hubo que esperar al siglo XVII para que dos investigadores excepcionales, Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716), descubrieran un vínculo profundo e inesperado entre áreas y tangentes: ¡los cálculos correspondientes son recíprocos! Los estudiantes de bachillerato actuales saben que las primitivas de una función son precisamente las funciones cuya derivada es . El cálculo integral y el cálculo diferencial son, por tanto, las dos caras de una misma moneda. Este descubrimiento fundamental dio origen al análisis clásico. Este calculus newtoniano —así se denomina en inglés el cálculo diferencial— se aplica a innumerables situaciones, pero no es, por supuesto, más que una etapa. Durante los primeros años del siglo XIX, Joseph Fourier (1768-1830) sentó las bases del cálculo de las series de funciones que llevan su nombre, indispensables para modelizar fenómenos ondulatorios como el sonido o la luz. Precisamente al resolver un problema sobre la convergencia de las series de Fourier, Georg Cantor (1845-1918) descubrió la complejidad de los subconjuntos cerrados de la recta, lo que le llevó a crear la teoría de conjuntos. Émile Borel (1871-1956) pertenece a la generación siguiente, directamente influida por los trabajos de Cantor. Junto con sus discípulos y colegas más jóvenes Henri Lebesgue (1875-1941) y René Baire (1874-1932), forma el triunvirato de padres fundadores de la teoría moderna de las funciones, de la que esbozaremos ahora una descripción.
Henri Lebesgue y René Baire. (c) PD-Art
