La misura e il caso sono concetti che sembrano banali, ma la cui definizione matematica è ben più complessa e più ampia di quanto suggerisca l’intuizione. Lo mostrano la misura di Lebesgue, i numeri normali di Borel e la congettura di Borel.
Si può scegliere un punto a caso su un seg-mento? Come si fa e come si utilizza questa operazione? Che cos’è un sottoinsieme qualsiasi della retta o del piano? I progressi della matematica imposero queste domande ai ricercatori all’alba del XX secolo. Émile Borel fu in prima linea nel raccogliere la sfida. La nostra storia comincia in Grecia, dove gli Antichi, contemporanei e persino predecessori di Platone, praticavano la geometria, in particolare il calcolo di aree e volumi e il tracciamento di tangenti. Un nome si impone: Archimede, nato intorno al 287 e morto nel 212 prima della nostra era a Siracusa, uno dei più grandi studiosi dell’antichità. Ottenne notevoli risultati nel calcolo di aree e volumi grazie al metodo di esaustione, antenato del calcolo infinitesimale.
Bisogna attendere il XVII secolo perché due ricercatori eccezionali, Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716), scoprano un legame profondo e inatteso tra aree e tangenti: i calcoli corrispondenti sono inversi l’uno dell’altro! Gli studenti delle scuole superiori di oggi sanno che le primitive di una funzione sono precisamente le funzioni la cui derivata è . Il calcolo integrale e il calcolo differenziale sono dunque le due facce della stessa medaglia. Questa scoperta fondamentale diede origine all’analisi classica. Il calcolo di Newton e Leibniz (il termine inglese è calculus) si applica a innumerevoli situazioni, ma naturalmente è solo una tappa. Nei primi anni del XIX secolo, Joseph Fourier (1768-1830) pose le basi del calcolo delle serie di funzioni che portano il suo nome, indispensabili per modellizzare fenomeni ondulatori come il suono o la luce. Fu proprio risolvendo un problema sulla convergenza delle serie di Fourier che Georg Cantor (1845-1918) scoprì la complessità dei sottoinsiemi chiusi della retta, giungendo così a creare la teoria degli insiemi. Émile Borel (1871-1956) appartiene alla generazione successiva, direttamente influenzata dai lavori di Cantor. Insieme ai suoi più giovani colleghi e allievi Henri Lebesgue (1875-1941) e René Baire (1874-1932), forma il triumvirato dei padri fondatori della moderna teoria delle funzioni, di cui ora tracceremo un profilo.
Henri Lebesgue e René Baire. (c) PD-Art
