La mesure et le hasard sont des notions qui semblent banales mais dont la définition mathématique est bien plus compliquée et plus large que l’intuition. C’est ce que l’on peut voir avec la mesure de Lebesgue, les nombres normaux de Borel ainsi que la conjecture de Borel.
Peut-on prendre un point au hasard sur un seg-ment ? Comment faire, et comment utiliser cette opération ? Qu’est-ce qu’une partie quelconque de la droite, ou du plan ? Les progrès des mathématiques ont imposé ces questions aux chercheurs, au tout début du vingtième siècle. Émile Borel était en première ligne pour relever le défi.Notre histoire commence en Grèce où les Anciens, contemporains et même prédécesseurs de Platon, pratiquent la géométrie, en particulier les calculs de surface et de volume et les tracés de tangentes. Un nom s’impose : Archimède, né vers 287 et mort en 212 avant notre ère à Syracuse, l’un des plus grands savants de l’Antiquité. Il réalise des calculs de surface et de volume impressionnants grâce à la méthode d’exhaustion, ancêtre du calcul infinitésimal.
Il faut attendre le dix-septième siècle pour que deux chercheurs d'exception, Isaac Newton (1642-1727) et Gottfried Leibniz (1646-1716), découvrent un lien profond et inattendu entre surfaces et tangentes : les calculs correspondants sont réciproques ! Les lycéens d'aujourd'hui savent que les primitives d'une fonction sont précisément les fonctions dont la dérivée est . Le calcul intégral et le calcul différentiel sont donc les deux faces d'une même pièce. Cette découverte fondamentale a donné naissance à l'analyse classique. Ce calculus (c’est le terme qu’on utilise en anglais pour parler de calcul différentiel) newtonien s'applique à d'innombrables situations, mais il n'est bien sûr qu'une étape. Dans les premières années du dix-neuvième siècle, Joseph Fourier (1768-1830) pose les bases du calcul des séries de fonctions qui portent son nom, indispensables à la modélisation des phénomènes ondulatoires tels que le son ou la lumière. C'est précisément en résolvant un problème portant sur la convergence des séries de Fourier que Georg Cantor (1845-1918) découvre la complexité des sous-ensembles fermés de la droite, ce qui l'amène à créer la théorie des ensembles. Émile Borel (1871-1956) fait partie de la génération suivante, directement influencée par les travaux de Cantor. Avec ses cadets et élèves Henri Lebesgue (1875-1941) et René Baire (1874-1932), il constitue le triumvirat des pères fondateurs de la théorie moderne des fonctions, dont nous allons maintenant esquisser une description.
