Numeri normali: la Biblioteca di Babele nasconde la vostra password

Lo scrittore argentino Jorge Luis Borges (1899-1986) racconta che la Biblioteca di Babele contiene tutti i libri possibili, compresi quelli ancora da scrivere. Analogamente, un numero normale contiene tutte le sequenze di cifre immaginabili: vi si trovano il vostro numero di telefono, la password che non avete ancora creato e persino una versione cifrata di questo messaggio che attendete da tanto tempo. In altre parole, un numero normale è una biblioteca infinita di cifre. Questa definizione include sia la frequenza di comparsa di ogni singola cifra sia quella di qualsiasi blocco di cifre.

La definizione dei numeri normali si deve a Émile Borel (1871-1956), che la introdusse nel 1909 in un articolo pubblicato nei Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (Resoconti del circolo matematico di Palermo), intitolato Le probabilità numerabili e le loro applicazioni aritmetiche. In questo lavoro, sul quale torneremo tra poco, Borel stabilì legami fondamentali fra teoria della misura, probabilità e teoria dei numeri.

Quanto è grande la biblioteca di Babele e quanti volumi contiene? È possibile contare le opere della biblioteca se a ogni volume si può associare un numero naturale: 0, 1, 2… e così via fino all’infinito. In un altro racconto di Borges, però, si parla di un Libro di sabbia le cui pagine non permettono un simile conteggio: era infatti impossibile sfogliarlo perché, fra due pagine, se ne insinuavano infinite altre, mentre le pagine stesse si dissolvevano in una moltitudine di frammenti come granelli di sabbia. Quelle pagine non erano numerabili, poiché non potevano essere poste in biiezione con i numeri naturali. Come le pagine del Libro di sabbia, in matematica l’insieme dei numeri reali è detto non numerabile. Certo, anche i numeri interi sono infiniti, ma fra loro c’è una netta distinzione, proprio come fra le pagine di un libro… normale.