La definición de los números normales de Émile Borel se comprende al leer La Biblioteca de Babel y el Libro de arena de Jorge Luis Borges. Sus sorprendentes propiedades abren las puertas a la teoría de la medida, la teoría ergódica e incluso la informática.
El escritor argentino Jorge Luis Borges (1899-1986) cuenta que la biblioteca de Babel contiene todos los libros posibles, incluidos los que aún quedan por escribir. De forma análoga, un número normal contiene todas las secuencias de cifras imaginables: encontramos tanto su número de teléfono como la contraseña que todavía no ha creado, o incluso una versión cifrada de este mensaje que lleva tanto tiempo esperando. En otras palabras, un número normal es una biblioteca infinita de cifras. Esta definición incluye tanto la frecuencia de aparición de cada cifra como la de cualquier bloque de cifras.
La definición de los números normales se debe a Émile Borel (1871-1956), quien la introdujo en 1909 en un artículo publicado en los Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (Actas del Círculo Matemático de Palermo), titulado Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques. En este trabajo, al que volveremos enseguida, Borel establece vínculos fundamentales entre la teoría de la medida, las probabilidades y la teoría de números.
Babel, la arena y Borel
¿Qué tamaño tiene la biblioteca de Babel y cuántos volúmenes contiene? Es posible enumerar las obras de la biblioteca si podemos asociar a cada volumen un número natural: 0, 1, 2…, y así hasta el infinito. Sin embargo, en otro relato de Borges aparece un Libro de arena cuyas páginas no permiten tal recuento: en efecto, era imposible hojearlo porque, entre dos páginas, se deslizaban infinitas otras, mientras que las propias páginas se disolvían en multitud de fragmentos como granos de arena. Estas páginas no eran numerables, pues no podían ponerse en biyección con los números naturales. Al igual que las páginas del libro de arena, el conjunto de los números reales se dice no numerable en matemáticas. Ciertamente, los números enteros también son infinitos, pero entre ellos hay una separación nítida, igual que entre las páginas de un libro… normal.
