La définition des nombres normaux par Émile Borel peut se comprendre à la lecture de La Bibliothèque de Babel et du Livre de sable de Jorge Luis Borges. Leurs propriétés étonnantes ouvrent sur la théorie de la mesure, la théorie ergodique et même sur l’informatique.
L’écrivain argentin Jorge Luis Borges (1899-1986) raconte que la bibliothèque de Babel contient tous les livres possibles, y compris ceux qui restent encore à écrire. De manière analogue, un nombre normal comprend toutes les séquences de chiffres imaginables : on y trouve aussi bien votre numéro de téléphone, le mot de passe que vous n’avez pas encore créé, ou même une version chiffrée de ce message que vous attendez depuis si longtemps. En d’autres termes, un nombre normal est une bibliothèque infinie de chiffres. Cette définition inclut la fréquence d’apparition de chaque chiffre individuel ainsi que celle de n’importe quel bloc de chiffres.
La définition des nombres normaux est due à Émile Borel (1871-1956), qui l’introduit en 1909 dans un article publié au sein des Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (Comptes-rendus du cercle mathématique de Palerme), intitulé Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques. Dans ce travail, sur lequel nous reviendrons bientôt, Borel établit des ponts fondamentaux entre la théorie de la mesure, les probabilités et la théorie des nombres.
Babel, le sable et Borel
Quelle est la taille de la bibliothèque de Babel et combien de volumes contient-elle ? Il est possible de dénombrer les ouvrages de la bibliothèque si l’on peut associer à chaque volume un nombre entier naturel : 0, 1, 2…, et ce jusqu’à l’infini. Cependant, dans un autre récit de Borges, il est question d’un Livre de sable dont les pages ne permettent pas un tel décompte : il était en effet impossible de le feuilleter car, entre deux pages, s’en glissaient une infinité d’autres, les pages elles-mêmes se dissolvant en une multitude de fragments tels des grains de sable. Ces pages n’étaient pas dénombrables, car elles ne pouvaient être mises en bijection avec les entiers naturels. À l’image des pages du livre de sable, l’ensemble des nombres réels en mathématiques est dit non dénombrable. Certes, les nombres entiers sont eux aussi infinis, mais il existe entre eux une démarcation nette, tout comme entre les pages d’un livre… normal.
