nombre normal

Regardez très loin dans l’écriture d’un nombre, après la virgule. Si le nombre est normal en base 10, chacun des dix chiffres finit par occuper environ un dixième des places.

L’équilibre concerne aussi les groupes : 00, 01 ou 73 doivent chacun représenter un centième des paires, et toute suite de trois chiffres un millième des triplets. Il ne suffit donc pas que les chiffres isolés soient bien répartis. La propriété décrit une fréquence à la limite, lorsque la longueur observée augmente sans fin.

Soit une base entière b au moins égale à 2. Un réel est normal en base b si, pour toute longueur entière n au moins égale à 1, chacun des bⁿ blocs possibles de n chiffres possède la même fréquence asymptotique. Cette fréquence vaut $b^{-n}b^\{-n\}$. Les occurrences se comptent à toutes les positions de départ, y compris lorsqu’elles se chevauchent.

La fréquence est une limite : pour un bloc donné, on divise son nombre d’occurrences parmi les premières positions par le nombre total de positions examinées, puis on fait croître ce nombre de positions indéfiniment. Une égalité observée sur un préfixe fini ne suffit pas. Exiger seulement que chaque chiffre apparaisse avec la fréquence 1/b est une condition plus faible, car elle correspond uniquement au cas n = 1.

Un nombre normal dans toute base entière au moins égale à 2 est dit absolument normal. La normalité dans une base n’entraîne pas, en général, la normalité dans une base indépendante ; elle entraîne toutefois la normalité dans les bases qui sont des puissances entières de la première. Borel a introduit la notion en 1909 et a montré que les réels non normaux forment un ensemble de mesure de Lebesgue nulle : presque tout réel est donc normal, au sens de la mesure.

Supposons que le développement en base 2 d’un réel commence par 001100110. Nous examinons les blocs de deux chiffres. Les données sont les neuf chiffres écrits, les huit positions de départ possibles et les quatre blocs attendus : 00, 01, 10 et 11.

1. Lisez les paires qui se chevauchent : 00, 01, 11, 10, 00, 01, 11, 10.
2. Comptez-les : chaque bloc apparaît exactement deux fois.
3. Divisez chaque effectif par les huit positions examinées.

La fréquence observée est donc 1/4 pour chaque paire, précisément la fréquence attendue en base 2 pour une longueur 2. Le contrôle consiste à refaire les huit lectures et à vérifier que les quatre effectifs totalisent 8. Ce résultat valide seulement ce préfixe : il ne démontre ni la normalité du réel en base 2, ni sa normalité dans les autres bases.

Pour examiner expérimentalement un développement numérique, on choisit une base et une longueur de bloc, puis on compare les fréquences observées à la fréquence théorique. Un écart qui persiste quand le préfixe s’allonge signale un défaut d’équirépartition ; un bon accord ne constitue pas une preuve.

Si la question porte seulement sur l’équilibre des chiffres isolés, le test avec des blocs de longueur 1 est adapté. Dès que l’ordre des chiffres compte, il faut aussi examiner des blocs plus longs : des chiffres équilibrés peuvent former des paires très déséquilibrées.

Pour une démonstration, le comptage informatique d’un grand préfixe doit céder la place à un argument valable pour une longueur arbitraire. La normalité est une propriété asymptotique, pas un certificat obtenu après un nombre fixé de décimales.

Normalité et loi normale. Un nombre normal concerne les fréquences de blocs dans une écriture en base donnée. Une loi normale décrit la répartition de valeurs aléatoires autour d’une moyenne. Le préfixe fini 001100110 illustre le comptage de blocs, sans moyenne ni courbe en cloche, mais ne permet pas de conclure à la normalité.

Normalité et simple équilibre des chiffres. Voir autant de 0 que de 1 ne contrôle que les blocs de longueur 1. Pour trancher, comptez aussi 00, 01, 10 et 11 : la normalité en base 2 impose leur fréquence limite commune de 1/4.

Un préfixe fini peut être trompeur. Dans 001100110, les quatre paires ont exactement la fréquence 1/4, mais les chiffres qui suivent peuvent rompre durablement cet équilibre. Il faut établir la limite pour toute longueur de bloc, et non prolonger visuellement une tendance.

La base fait partie de l’énoncé. Dire seulement qu’un nombre est normal masque parfois la base considérée. Une preuve en base 2 ne donne pas automatiquement une preuve en base 10 ; pour conclure à la normalité dans toute base, chaque base entière au moins égale à 2 doit être couverte.

« Presque tout » ne signifie pas « tout ». Le théorème de Borel affirme que l’ensemble exceptionnel est de mesure de Lebesgue nulle. Il existe néanmoins des réels non normaux ; la mesure nulle exprime leur rareté métrique, pas leur inexistence.

La mesure de Lebesgue précise le sens mathématique de « presque tout réel » dans le théorème de Borel.

L’article Face aux développements décimaux prolonge l’étude des écritures après la virgule et des comportements qu’elles rendent visibles.