ArithmétiqueNotion · Glossaire
Copeland-Erdös (constante de)
La constante de Copeland-Erdos est le nombre décimal défini en concaténant la suite des nombres premiers à la suite de la virgule : 0,23571113171923... Elle est formée en écrivant les nombres premiers les uns à la suite des autres. Copeland et Erdos ont démontré en 1946 que ce nombre est normal en base 10, c'est-à-dire que tout bloc de k chiffres apparaît avec la fréquence asymptotique 10−k ; le cas des chiffres seuls correspond à k = 1. C'est l'un des exemples les plus simples de nombre normal dont on puisse prouver la normalité.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconstruire les quatorze premières décimales à partir des neuf premiers nombres premiers.
- Interpréter la fréquence asymptotique de tout bloc de k chiffres.
- Distinguer normalité, universalité et apparence aléatoire.
- Éviter de conclure à partir d’un préfixe fini ou d’oublier les blocs qui traversent une jonction.
En clair
Écrivons les nombres premiers dans l’ordre : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… Retirons les virgules et plaçons tous leurs chiffres après un zéro : nous obtenons 0,2357111317… Ce geste suffit à construire la constante de Copeland-Erdős.
Sa propriété remarquable ne se voit pas sur quelques décimales. Quand on examine une portion de plus en plus longue, chaque chiffre et chaque bloc fini de chiffres tendent vers la fréquence attendue en base 10. Cette régularité asymptotique porte le nom de normalité.
Définition
La constante de Copeland-Erdős est obtenue en rangeant les nombres premiers positifs par ordre croissant, puis en concaténant leur écriture décimale après la virgule. La construction commence donc par :
La juxtaposition porte sur les chiffres : le nombre premier 11 fournit deux chiffres consécutifs, puis 13 fournit les deux suivants.
Dire que C10 est normal en base 10 signifie que tout bloc fixé de k chiffres possède une fréquence asymptotique égale à 10−k. Plus précisément, pour un bloc w de longueur k, notons Nw(n) le nombre de ses occurrences parmi les n premières positions possibles. La condition est :
Ainsi, chaque chiffre isolé tend vers la fréquence 1/10 et chaque paire de chiffres vers 1/100.
Copeland et Erdős ont démontré cette normalité en 1946. Le résultat concerne la base 10 et la suite complète des nombres premiers, pas seulement le début 0,235711… Puisque tout bloc fini a une fréquence limite positive, il finit par apparaître : la constante est donc aussi un nombre univers en base 10.
Un exemple, pas à pas
Données. Prenons les neuf premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 et 23. Nous allons construire les quatorze premières décimales de la constante.
1. Conservons l’ordre croissant et écrivons chaque nombre premier en chiffres décimaux. Les quatre premiers occupent un chiffre chacun ; les cinq suivants en occupent deux chacun.
2. Supprimons tous les séparateurs. La chaîne obtenue est 23571113171923, soit 4 + 5 × 2 = 14 chiffres.
3. Plaçons cette chaîne après la virgule :
Le schéma matérialise le passage de la liste des nombres premiers à cette chaîne unique.
4. Contrôlons un repère : le nombre premier 17 fournit les chiffres de positions 9 et 10. Le bloc 71 apparaît aussi aux positions 4 et 5, à cheval sur 7 et 11. Ces occurrences vérifient la concaténation, mais quatorze chiffres ne suffisent pas à établir une fréquence asymptotique.
En pratique
Pour produire un préfixe de la constante, on énumère les nombres premiers dans l’ordre, on convertit chacun en écriture décimale, puis on colle les chaînes obtenues. Si l’on veut seulement quelques décimales, ce procédé direct est préférable à une étude de fréquences.
Pour vérifier une implémentation, on compare d’abord son début à 23571113171923 et l’on contrôle le premier changement de longueur : après le nombre premier 7 vient 11. Une rupture ou un séparateur visible révèle une concaténation incorrecte.
Pour étudier la normalité, compter les chiffres d’un préfixe donne seulement une observation numérique. Le critère pertinent reste la limite des fréquences de tous les blocs finis ; la preuve de Copeland et Erdős est nécessaire pour conclure sur la constante entière.
À ne pas confondre
Normalité et simple équilibre des chiffres. Voir chacun des dix chiffres avec une fréquence tendant vers 1/10 ne contrôle que les blocs de longueur 1. La normalité exige aussi 1/100 pour chaque paire, 1/1000 pour chaque triplet, et ainsi de suite.
Nombre normal et nombre univers. Un nombre univers contient tout bloc fini de chiffres au moins une fois. Un nombre normal impose davantage : chaque bloc de longueur k revient avec la fréquence asymptotique 10−k. La constante de Copeland-Erdős possède les deux propriétés en base 10.
Construction déterministe et tirage aléatoire. Les décimales de la constante sont entièrement fixées par la liste ordonnée des nombres premiers. Leur répartition asymptotique est régulière, mais aucun chiffre n’est tiré au hasard pendant la construction.
Limites et pièges
Un préfixe fini ne prouve pas la normalité. Dans les quatorze premières décimales, les chiffres sont visiblement déséquilibrés. Ce symptôme n’infirme rien : la propriété porte sur une limite lorsque la longueur tend vers l’infini. Il faut invoquer la démonstration, pas extrapoler le préfixe.
Les frontières entre nombres premiers disparaissent. Le bloc 71 des positions 4 et 5 traverse la jonction entre 7 et 11. Pour compter des blocs, il faut donc parcourir la chaîne entière, y compris aux raccords, plutôt que traiter chaque nombre premier séparément.
La base fait partie de l’énoncé. La construction utilise les écritures décimales et le théorème cité établit la normalité en base 10. Changer de base modifie les chiffres concaténés ; la conclusion en base 10 ne suffit pas, à elle seule, à justifier la même propriété ailleurs.
Fréquence limite ne signifie pas égalité à chaque étape. Pour un bloc de deux chiffres, la cible asymptotique est 1/100, mais un préfixe donné peut s’en écarter. Il faut mesurer l’évolution avec la longueur sans exiger une proportion exactement égale sur chaque échantillon fini.
Pour aller plus loin
nombre normal approfondit la fréquence asymptotique exigée pour les blocs de toute longueur.
Développement décimal précise le cadre d’écriture dans lequel les nombres premiers sont concaténés.
nombre univers permet de comparer la simple présence de tout bloc fini à l’exigence plus forte de normalité.
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