Una condición necesaria para que dos polígonos admitan una misma descomposición poligonal —diremos que son equidescomponibles— es, evidentemente, que tengan la misma área. Diremos que son equivalentes (véase el recuadro). Pero construir un polígono también exige desplazar las piezas que lo componen. Esto puede parecer anodino, pero los desplazamientos son operaciones características de una geometría. Nos limitaremos a la geometría euclidiana, que se basa en el grupo de las semejanzas, compuesto por traslaciones, homotecias y rotaciones. Las isometrías que tendremos en cuenta son las traslaciones y las rotaciones, excluyendo por tanto las simetrías axiales, pues requieren un volteo, es decir, pasar a la tercera dimensión abandonando el plano.
Una autoría compartida
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La recíproca, «dos polígonos equivalentes son equidescomponibles», es el enunciado de un teorema atribuido a varios autores. Parece que Farkas Bolyai (1775-1856), padre de János (el descubridor de un «nuevo mundo», la geometría hiperbólica), fue el primero en plantear el problema en 1790. Habría sido demostrado por John Lowry (1769-1850) en 1814, William Wallace (1768-1843) en 1831, el propio Bolyai en 1832 y Paul Gerwien (1799-1858) en 1833. Pero, como solo se encuentran fácilmente publicaciones de los dos últimos autores citados, este teorema recibe más frecuentemente el nombre de teorema de Bolyai, o de Bolyai-Gerwien.
Así, dados dos polígonos de igual área, siempre puede encontrarse una partición poligonal que permita reconstruir el primero a partir del segundo y viceversa.
