Elija sus dos polígonos preferidos, P1 y P2, por ejemplo el hexágono regular y el cuadrado. Una condición necesaria para que P1 y P2 admitan la misma descomposición poligonal —en cuyo caso se dice que son equidescomponibles— es, naturalmente, que tengan la misma área —en cuyo caso se dice que son equivalentes—.
Es fácil convencerse de que el hecho de que P1 y P2 sean «equivalentes» define, en el sentido técnico del término, una relación de equivalencia sobre el conjunto de los polígonos. Una relación de equivalencia satisface, en efecto, tres propiedades: la reflexividad (P1 tiene la misma área que él mismo), la simetría (si P1 tiene la misma área que P2, entonces P2 tiene la misma área que P1) y la transitividad (si P1 y P2 tienen la misma área y si P2 y P3 tienen la misma área, entonces P1 y P3 también tienen la misma área).
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Una autoría compartida
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Comprobar la validez de una equidescomposición implica desplazar las piezas que forman el primer polígono para componer el segundo. Estos desplazamientos son operaciones características de una geometría. Así, nuestra geometría euclidiana se basa en el grupo de las semejanzas, compuesto por traslaciones, homotecias y rotaciones. Puesto que las piezas se desplazan sin deformarse, nos restringimos al grupo de las isometrías, compuesto por traslaciones y rotaciones. Las simetrías axiales, aunque son isometrías, no forman parte de él porque requieren darles la vuelta, es decir, pasar a la tercera dimensión (saliendo del plano).
