Prendete i vostri due poligoni preferiti, P1 e P2, per esempio l’esagono regolare e il quadrato. Una condizione necessaria affinché P1 e P2 ammettano la stessa scomposizione poligonale (si dicono allora equidecomponibili) è, evidentemente, che abbiano la stessa area (si dicono allora equivalenti).
Ci si convince facilmente che il fatto che P1 e P2 siano «equivalenti» definisce effettivamente, nel senso tecnico del termine, una relazione di equivalenza sull’insieme dei poligoni. Una relazione di equivalenza soddisfa infatti tre proprietà: la riflessività (P1 ha effettivamente la stessa area di sé), la simmetria (se P1 ha la stessa area di P2, allora P2 ha la stessa area di P1) e la transitività (se P1 e P2 hanno la stessa area e P2 e P3 hanno la stessa area, allora anche P1 e P3 hanno la stessa area).
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Una paternità condivisa
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Verificare la correttezza di un’equidecomposizione richiede implicitamente di spostare i pezzi che costituiscono il primo poligono per formare il secondo. Questi spostamenti sono operazioni caratteristiche di una geometria. La nostra geometria euclidea si basa dunque sul gruppo delle similitudini, composto da traslazioni, omotetie e rotazioni. Poiché i pezzi spostati restano invariati, ci si restringe al gruppo delle isometrie, composto da traslazioni e rotazioni. Le simmetrie assiali, pur essendo isometrie, non ne fanno parte perché richiedono un ribaltamento, cioè il passaggio alla terza dimensione, uscendo dal piano.
