Una condizione necessaria affinché due poligoni ammettano una stessa scomposizione poligonale — diremo che sono equidecomponibili — è, naturalmente, che abbiano la stessa area. Li diremo equivalenti (vedi il riquadro). Ma costruire un poligono richiede anche di spostarne i pezzi. Può sembrare un dettaglio, ma gli spostamenti sono operazioni caratteristiche di una geometria. Ci limiteremo alla geometria euclidea, fondata sul gruppo delle similitudini, costituito da traslazioni, omotetie e rotazioni. Le isometrie che prenderemo in considerazione sono le traslazioni e le rotazioni, escludendo dunque le simmetrie assiali, poiché richiedono un ribaltamento, cioè il passaggio alla terza dimensione abbandonando il piano.
Una paternità condivisa --------------------------
L’inverso, «due poligoni equivalenti sono equidecomponibili», è l’enunciato di un teorema attribuito a diversi autori. Sembra che Farkas Bolyai (1775-1856), padre di János (lo scopritore di un «nuovo mondo», la geometria iperbolica), sia stato il primo a porre il problema nel 1790. Sarebbe stato dimostrato da John Lowry (1769-1850) nel 1814, da William Wallace (1768-1843) nel 1831, dallo stesso Bolyai nel 1832 e da Paul Gerwien (1799-1858) nel 1833. Ma, poiché si trovano facilmente pubblicazioni solo degli ultimi due citati, questo teorema è più spesso chiamato teorema di Bolyai, o di Bolyai-Gerwien.
Così, considerando due poligoni di uguale area, si può sempre trovare una scomposizione poligonale che permetta di ricostruire il primo a partire dal secondo e viceversa.