Nella formula di Eulero per i poliedri convessi, F – A + S = 2, il numero di facce F e il numero di vertici S svolgono ruoli simmetrici. Questa simmetria è all’origine della dualità. Nello spazio, la dualità è un’operazione che trasforma i poligoni in punti e i punti in poligoni.
Ma come si costruisce un poligono a partire da un vertice di un poliedro? Entra qui in gioco il poligono di vertice.
La sua costruzione è semplice: poniamoci in un vertice e allontaniamoci della stessa distanza lungo ciascuno degli spigoli che vi convergono. Il concetto di poligono di vertice permette di caratterizzare i vertici di un poliedro in termini di poligoni. Possiamo così descrivere un poliedro servendoci unicamente di poligoni: le facce e i poligoni di vertice.
Questa nozione consente persino di caratterizzare i solidi platonici in modo molto economico: un poliedro è regolare se le sue facce sono tutte dello stesso tipo di poligono regolare e i suoi poligoni di vertice sono tutti dello stesso tipo di poligono regolare. Il simbolo di Schläfli dei poliedri emerge così naturalmente!
| Poliedro | Facce | Poligono di vertice | Simbolo di Schläfli |
|---|---|---|---|
| Tetraedro | {3} | {3} | {3, 3} |
| Cubo | {4} | {3} | {4, 3} |
| Ottaedro | {3} | {4} | {3, 4} |
| Dodecaedro | {5} | {3} | {5, 3} |
| Icosaedro | {3} | {5} | {3, 5} |
