Figura de vértice: dualidad y sólidos de Platón | Tangente

En la fórmula de Euler para los poliedros convexos, F – A + S = 2, el número de caras F y el número de vértices S desempeñan papeles simétricos. Esta simetría es el origen de la dualidad. En el espacio, la dualidad es una operación que transforma los polígonos en puntos y los puntos en polígonos.

Pero ¿cómo construir un polígono a partir de un vértice de un poliedro? Ahí es donde interviene la figura de vértice.

Su construcción es sencilla: situémonos en un vértice y alejémonos la misma distancia por cada arista que parte de él. La noción de figura de vértice permite caracterizar los vértices de un poliedro en términos de polígonos. Así, podemos describir un poliedro únicamente mediante polígonos: las caras y las figuras de vértice.

Esta noción permite incluso caracterizar los sólidos de Platón de forma muy económica: un poliedro es regular si sus caras son de un único tipo de polígono regular y sus figuras de vértice son todas de un mismo tipo de polígono regular. ¡El símbolo de Schläfli de los poliedros aparece de forma natural!