Les trésors des polygones

La evocación de los polígonos generalmente remite a las figuras geométricas de nuestros teselados, a menudo regulares. Su simplicidad efectiva podría hacer creer que su estudio es sin dificultad, por lo tanto sin interés. Sin embargo, ciertas operaciones, como verificar la convexidad o diferenciar vértice e intersección de lados para un polígono autointersecante, siguen siendo complejas. Un primer trabajo es, por lo tanto, buscar una definición suficientemente general para reunir polígonos con nombres exóticos – acópticos, aplóicos o incluso isotoxales – en una sola familia. Surge entonces la pregunta de si se puede obtener de su conjunto de características una tipología que permita clasificarlos y construirlos.

Desde la Antigüedad, se ha interesado, para problemas de redistribución de tierras, en calcular el área de un cuadrilátero. El matemático indio Brahmagupta estableció una fórmula a partir de la medida de sus lados, fórmula semelhante a la de Herón de Alejandría para los triángulos. Una generalización de estas expresiones ha permitido recientemente determinar el área de un pentágono cualquiera a partir de sus lados. Otro problema antiguo, la construcción de polígonos regulares con regla y compás. Habrá que esperar al siglo XIX, los trabajos de Gauss y el desarrollo de la teoría de Galois, para determinar cuáles son efectivamente constructibles según las reglas de Euclides.

Los polígonos van mucho más allá del estricto marco de la geometría, con aplicaciones prácticas o lúdicas. Los encontramos, por ejemplo, en arquitectura, en los planos de edificios, o en aritmética en forma de los llamados números poligonales. Son naturalmente las teselas de numerosos rompecabezas, de los cuales el más antiguo de entre ellos es el Stomachion de Arquímedes. Corresponde a Bolyai, el abuelo de la geometría no euclidiana, haber demostrado que dos polígonos de la misma área pueden tener las mismas piezas constitutivas. Desde entonces, Dudeney y los Demaine, padre e hijo, han abierto un vasto campo de creaciones – y recreaciones – matemáticas con los polígonos articulados.