Muy pronto, numerosas formas de polígonos ampliaron esta familia. Debemos a los matemáticos griegos su nomenclatura, todavía vigente hoy. Estos abordaron ambiciosamente la construcción de esa multitud de polígonos, con la restricción de utilizar únicamente una regla sin graduar y un compás. Mucho más tarde, en el 19.º siglo, se demostraría que solo algunos polígonos regulares pueden construirse de este modo. La primera imposibilidad es el heptágono y, sin embargo, Arquímedes propuso una construcción exacta de este, liberándose de la restricción de regla y compás.
Durante siglos, los polígonos, figuras aparentemente muy simples, fueron estudiados por los más grandes matemáticos, como Herón, Ptolomeo, Brahmagupta, Viète, Kepler, Girard, Euler, Gauss, Steiner y muchos otros. Lo sencillo no siempre es elemental, ni lo complicado, complejo.
También podemos pensar en artistas como Leonardo da Vinci y Alberto Durero, o en los ingenieros de fortificaciones a partir del 16.º siglo. Estos últimos adoptaron una nueva perspectiva para construir polígonos regulares, no por ignorancia matemática, sino por el dominio de una aproximación práctica para los constructores.
La propia definición de los polígonos evolucionó con el tiempo hasta alcanzar su forma abstracta en el 20.º siglo, gracias al especialista en geometría discreta Branko Grünbaum, incorporando así los numerosos «casos patológicos» de su historia.
Dejaremos «de lado» los triángulos, no porque sean los más elementales de los polígonos, sino porque ya los hemos tratado en un número especial anterior (El triángulo, Biblioteca Tangente 24, 2005). Pero los cuadriláteros no se quedan atrás: descubriréis en ellos numerosas propiedades sorprendentes y veréis surgir lo inesperado a partir de lo elemental, o de lo que se supone que lo es.
Este campo de estudio, siempre vigente, no exige conocimientos especiales, sino «simplemente» curiosidad e imaginación. El matemático estadounidense David Peter Robbins trató así de generalizar, por caminos nada triviales, las fórmulas para calcular áreas establecidas por Herón de Alejandría y Brahmagupta para triángulos y cuadriláteros.
Los polígonos son el paradigma de los temas que sería pretencioso calificar de triviales e invitan a cierta modestia matemática, tan grande es el contraste entre su aparente sencillez y la riqueza de sus propiedades.
