Ben presto, molte nuove forme di poligoni arricchirono questa famiglia. Ai matematici greci dobbiamo la loro nomenclatura, tuttora in uso. Essi si dedicarono con ambizione alla costruzione di questa moltitudine di poligoni, con il vincolo di usare soltanto una riga non graduata e un compasso. Solo nel 19º secolo si dimostrò che soltanto alcuni poligoni regolari possono essere costruiti in questo modo. Il primo caso di impossibilità è l’eptagono, eppure Archimede ne propose una costruzione esatta, liberandosi dal vincolo di riga e compasso.
Per secoli i poligoni, figure apparentemente semplicissime, furono oggetto di studio da parte dei più grandi matematici, come Erone, Tolomeo, Brahmagupta, Viète, Keplero, Girard, Eulero, Gauss, Steiner e molti altri. Il semplice non è necessariamente elementare, né il complicato complesso.
Si può pensare anche ad artisti come Leonardo da Vinci e Albrecht Dürer, oppure agli ingegneri addetti alle fortificazioni a partire dal 16º secolo. Questi ultimi elaborarono un nuovo approccio alla costruzione dei poligoni regolari, non per ignoranza della matematica, ma grazie alla padronanza di un’approssimazione pratica, utile ai costruttori.
La definizione stessa di poligono si è evoluta nel corso del tempo, fino a raggiungere la sua forma astratta nel 20º secolo, grazie allo specialista in geometria discreta Branko Grünbaum, includendo così i numerosi «casi patologici» della sua storia.
Lasceremo da «parte» i triangoli, non perché siano i più elementari fra i poligoni, ma perché li abbiamo già trattati in un precedente numero speciale (Il triangolo, Bibliothèque Tangente 24, 2005). Ma i quadrilateri non sono da meno: ne scoprirete numerose proprietà sorprendenti e vedrete emergere l’inatteso dall’elementare, o da ciò che è ritenuto tale.
Questo campo di studio, sempre attuale, non richiede conoscenze particolari, ma «semplicemente» curiosità e immaginazione. Il matematico statunitense David Peter Robbins cercò così di generalizzare, per vie non banali, le formule per il calcolo delle aree stabilite da Erone di Alessandria e Brahmagupta per triangoli e quadrilateri.
I poligoni sono l’emblema dei temi che sarebbe presuntuoso definire banali e invitano a una certa modestia matematica, tanto grande è il contrasto tra la loro apparente semplicità e la ricchezza delle loro proprietà.