Dimostrazioni senza parole

Le somme di interi in immagini ------------------------------

Le configurazioni di punti si prestano perfettamente a illustrare la varietà delle dimostrazioni senza parole (vedi la nota di lettura più sopra). La disposizione seguente, per esempio, resa popolare da Martin Gardner, mostra che la somma dei primi n interi è uguale a n (n + 1) / 2.

Un altro classico ha riscosso grande successo grazie a John Horton Conway e Richard Kenneth Guy (le Livre des nombres, Eyrolles, 1998). Si tratta di una dimostrazione visiva che la somma dei primi n interi dispari è uguale a n².

Infine, riportata nel libro di Roger Nelsen, la somma alternata dei quadrati degli interi si esprime algebricamente così:

n^2-(n-1)^2+\ldots+(-1)^{n-1}1^2=\frac{n(n+1)}{2}

Questa uguaglianza può essere tradotta visivamente nel bel disegno seguente, dovuto al matematico statunitense Steven Snover:

La somma dei numeri triangolari ----------------------------------

Un bell’esercizio di tassellazione è riportato da Roger Nelsen nell’opera citata più sopra. È dovuto all’ingegnosità di Monte Zerger, matematico statunitense in pensione, e ci invita a rivisitare la classica uguaglianza relativa alla somma dei primi n interi. Tuttavia, in questa interpretazione, la formula invita a riflettere sulla somma dei primi n numeri triangolari (cioè della forma k (k + 1) / 2, con k intero).

Emozioni visive e riflessione matematica --------------------------------------------

Le «dimostrazioni senza parole» sono, ci dice l’autore, «figure, schemi o diagrammi che aiutano il lettore a capire perché un particolare enunciato matematico possa essere vero, nonché a vedere come si potrebbe tentare di dimostrarlo». Agli spiriti pignoli che sostengono che una «dimostrazione visiva» non sia una dimostrazione, la lettura di questo libro permette di rispondere che le dimostrazioni visive di Roger Bain Nelsen hanno tutte il merito di far riflettere… talvolta persino a lungo, e di indicare la via verso una vera dimostrazione. Quest’ultima può avvenire, nel caso delle dimostrazioni geometriche, per dissezione e ricomposizione oppure, nel caso delle dimostrazioni algebriche, mediante un calcolo associato al disegno. Attenzione però a interpretare correttamente le notazioni dei disegni, non sempre disposte con grande chiarezza!

Due aspetti sorprendenti: il gran numero di dimostrazioni presentate (più di duecentotrenta) e la varietà degli ambiti affrontati: geometria (con, per esempio, tredici puzzle di Pitagora) e algebra, trigonometria, geometria analitica, calcolo differenziale e integrale, numerosissime disuguaglianze, combinatoria e somme di interi, successioni e serie, e persino alcuni temi di algebra lineare. Questo libro offre dunque un’ampia gamma di argomenti da cui ricavare bei esercizi, tanto per gli alunni quanto per gli studenti o semplicemente per gli appassionati in cerca di emozioni visive.

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