Demostraciones sin palabras

Las sumas de enteros en imágenes ------------------------------

Las disposiciones visuales de puntos se prestan de maravilla a ilustrar la variedad de las demostraciones sin palabras (véase la nota de lectura más arriba). El siguiente ensamblaje, por ejemplo, popularizado por Martin Gardner, ilustra que la suma de los n primeros enteros es igual a n (n + 1) / 2.

Otro clásico alcanzó gran éxito de la mano de John Horton Conway y Richard Kenneth Guy (Le Livre des nombres, Eyrolles, 1998). Se trata de la demostración visual de que la suma de los n primeros enteros impares es igual a n².

Por último, recogida en el libro de Roger Nelsen, la suma alternada de los cuadrados de enteros se expresa algebraicamente así:

n^2-(n-1)^2+\ldots+(-1)^{n-1}1^2=\frac{n(n+1)}{2}

Esta igualdad puede traducirse visualmente mediante el bonito dibujo siguiente, obra del matemático estadounidense Steven Snover:

La suma de los números triangulares ----------------------------------

Roger Nelsen describe en la obra mencionada más arriba un hermoso ejercicio de teselado. Se debe al ingenio de Monte Zerger, matemático estadounidense jubilado, y nos propone revisitar la igualdad clásica relativa a la suma de los n primeros enteros. Sin embargo, en esta interpretación, la fórmula invita a reflexionar sobre la suma de los n primeros números triangulares (es decir, de la forma k (k + 1) / 2, donde k es un número entero).

Emociones visuales y reflexión matemática --------------------------------------------

Las «demostraciones sin palabras» son, nos dice el autor, «figuras, esquemas o diagramas que ayudan al lector a comprender por qué un enunciado matemático concreto puede ser verdadero y a ver cómo podría intentarse demostrarlo». A los espíritus críticos que dicen que una «demostración visual» no es una demostración, cabe responder, tras leer este libro, que las demostraciones visuales de Roger Bain Nelsen tienen todas el mérito de hacer pensar… incluso durante largo rato, y ponen sobre la pista de una verdadera demostración. Esta puede realizarse, en el caso de las demostraciones geométricas, mediante disección y recomposición o, en el de las demostraciones algebraicas, mediante un cálculo asociado al dibujo. ¡Atención, sin embargo, a interpretar correctamente las notaciones de los dibujos, que no siempre están dispuestas con claridad!

Dos aspectos sorprendentes: el gran número de demostraciones presentadas (más de doscientas treinta) y la variedad de los ámbitos abordados: geometría (con, por ejemplo, trece rompecabezas de Pitágoras) y álgebra, trigonometría, geometría analítica, cálculo diferencial e integral, numerosísimas desigualdades, combinatoria y sumas de enteros, sucesiones y series e incluso algunos temas de álgebra lineal. Este libro ofrece, por tanto, una amplia gama de temas que dan pie a hermosos ejercicios, tanto para alumnos como para estudiantes o simplemente para aficionados ávidos de emociones visuales.

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