Dal 1957 al 1980, Martin Gardner (1914-2010) curò la rubrica di giochi matematici di Scientific American (la cui versione francese è Pour La Science). Propose un problema di suddivisione di un triangolo, perfettamente in linea con il suo gusto per gli enigmi dall’apparenza complicata ma resi limpidi da un’idea ingegnosa: un triangolo ottusangolo (con un angolo ottuso) può essere suddiviso in un numero finito di triangoli acutangoli (i cui angoli sono tutti acuti)? La risposta è sì: sono necessari precisamente sette triangoli.
Se il triangolo ABC è ottusangolo in A, consideriamo la circonferenza inscritta in ABC e O, il suo centro, all’intersezione delle bisettrici dei tre angoli del triangolo. Consideriamo le tangenti alla circonferenza (DE) e (FG), perpendicolari a (BO) e (CO), cosicché i triangoli BDE e CFG sono isosceli. Indichiamo con 4a, 4b e 4c gli angoli in A, B e C, espressi in gradi (in modo che a + b + c = 45°). Determiniamo gli angoli dei sette triangoli CGF, BDE, OAD, ODE, OEF, OFG e OGA usando due risultati: la somma degli angoli di un triangolo è uguale a 180°; le tangenti (AD) e (AG) alla circonferenza formano lo stesso angolo con (AO), e lo stesso vale per le altre tangenti. Si ottengono i seguenti valori, espressi in gradi:
Questi angoli sono tutti acuti! Inoltre, non si può fare meglio di sette, perché l’angolo ottuso in A deve essere tagliato da un lato di uno dei triangoli, che non può terminare sul lato [BC], altrimenti si ritroverebbe un angolo ottuso da dividere di nuovo… e così via. Ci si ferma quindi in un punto interno al triangolo. In quel punto convergono almeno cinque lati affinché gli angoli siano acuti. Si ottiene così un pentagono all’interno del triangolo, dunque sette triangoli.
