Pulire, spazzare, lucidare: la casa è sempre linda. Be’, finché non si guarda troppo negli angoli, dove resta immancabilmente un po’ di polvere residua. Distogliete lo sguardo? Probabilmente vi dite che questa imperfezione nelle pulizie è così discreta da dover apparire trascurabile agli occhi dei vostri ospiti.
Lungi dal voler interferire con la cura della vostra casa, la matematica dispone però di teoremi per segnalarvi che non è così e che minuscole quantità di polvere possono rivelarsi ben più rilevanti di quanto sembri, se osservate dalla giusta prospettiva. Per illustrare questo risultato, disegneremo la pianta del vostro salotto su un foglio di carta, identificheremo poi il salotto e la sua zona non pulita con parti del consueto piano euclideo e ci ricondurremo infine a considerazioni geometriche solo in apparenza elementari.
Una spazzata apparentemente soddisfacente -----------------------------------------
La vostra giovane nipote ha iniziato le lezioni di informatica e ne è appassionata: ne parla continuamente e, appena ne ha l’occasione, programma! Sul computer, naturalmente, ma anche su tutto ciò che può essere programmato… È così che il vostro piccolo robot aspirapolvere si ritrova a illustrare la sua lezione sulla ricorsione in uno strano balletto, i cui movimenti successivi ricordano la consueta costruzione dell’insieme frattale di Cantor (vedi il riquadro).
Il vostro salotto è una stanza quadrata il cui lato ha lunghezza c. Per semplificare il disegno e le spiegazioni, diremo più precisamente che si tratta del quadrato i cui vertici sono l’origine e i punti di coordinate (c, 0), (c, c) e (0, c): abbiamo dunque scelto di dotare il piano di un sistema di riferimento ortonormale con origine in un angolo della stanza e assi coincidenti con le pareti che vi si incontrano. All’inizio, cioè prima di cominciare le pulizie, l’intera stanza, ossia l’intero quadrato, è coperta di polvere.