Buffon e il caso in geometria

Buffon fu un naturalista dall’opera monumentale. La sua Histoire naturelle, générale et particulière, in quarantaquattro volumi, uscì nel corso di tutto il secolo dei Lumi. Fu anche uno scrittore e uno scienziato completo. Nel 1733 presentò all’Accademia delle scienze una memoria sul gioco del franc-carreau, che suscitò grande interesse. Vi considerava diversi giochi d’azzardo, nei quali la probabilità di vincere coinvolge grandezze geometriche. Fino ad allora, i calcoli sui giochi di carte o di dadi si basavano su quantità discrete. Qui Buffon intende «mettere dunque la Geometria in possesso dei suoi diritti sulla scienza del caso». A tal fine, considera giochi di natura «geometrica». Il primo è il gioco del franc-carreau. Si dispone di una pavimentazione formata da quadrati uguali, di lato lungo a. Si lancia una moneta sulla pavimentazione e ci si chiede quale sia la probabilità che cada franc-carreau, cioè interamente all’interno di un quadrato, senza toccarne i bordi. Per vincere, il centro della moneta, assimilata a un disco di raggio r, deve quindi trovarsi in un quadratino di lato a – 2r.

Il quadrato grigio è la zona in cui deve trovarsi il centro della moneta per vincere al gioco del franc-carreau.

Per il giocatore, la probabilità di vincere è dunque il rapporto fra due aree: quella del piccolo quadrato grigio e quella di una piastrella; vale quindi (a – 2r)² / a². Buffon ne deduce allora quale debba essere il diametro d della moneta affinché il gioco sia equo: occorre che d sia uguale a

ossia circa 0,29a.

Il secondo gioco considerato da Buffon consiste nel lanciare un ago su un parquet. Questo esperimento è oggi comunemente chiamato problema dell’ago di Buffon. In questo gioco si lancia un ago, modellizzato come un segmento di semilunghezza l, su un parquet di listelli larghi a (maggiore di l). I listelli sono supposti infinitamente lunghi e Buffon si interessa alla probabilità che l’ago intersechi il bordo di un listello. Mostra nuovamente che questa probabilità può essere espressa come rapporto fra due aree: quella dei casi «favorevoli» e quella di tutti i casi possibili.

L’ago è individuato da un numero compreso fra 0 e a (che misura la distanza fra il centro dell’ago e il bordo superiore del listello in cui si trova) e dall’angolo α formato dall’ago con l’orizzontale, cioè con la direzione dei listelli.

In grigio, la zona potenzialmente perdente per il giocatore.

Per avere un’intersezione, occorre che y < l sin α (in questo caso l’ago interseca il bordo superiore del listello) oppure che y > a – l sin α (l’ago interseca allora il bordo inferiore del listello). La probabilità di intersezione è dunque uguale al rapporto fra due aree: quella dell’insieme delle coppie (y, α) favorevoli e quella dell’insieme delle coppie (y, α) possibili. Questo secondo insieme, in grigio nella figura, è delimitato da due tratti di sinusoide e la sua area si calcola mediante un integrale. Si ottiene così che la probabilità di intersezione è uguale all’area grigia divisa per l’area del rettangolo, ossia

che vale

Con questi due esempi, Buffon mostra come geometria e probabilità possano interagire: è l’atto di nascita di una branca della matematica chiamata geometria stocastica. Il principio generale consiste nel calcolare probabilità relative a oggetti geometrici quali punti, segmenti, rette, dischi… È un settore molto attivo, sia sul piano teorico sia su quello delle applicazioni.

Alla fine della sua memoria, Buffon osserva che molte questioni potrebbero essere risolte con calcoli analoghi:

> «Questi esempi bastano a dare un’idea dei giochi che si possono immaginare sui rapporti di estensione; si potrebbero proporre molte altre questioni di questo genere, che non mancherebbero di essere curiose e persino utili: se si chiedesse, per esempio, quanto si rischia nell’attraversare un fiume su una tavola più o meno stretta; quale timore si debba avere dei fulmini o della caduta di una bomba, e molti altri problemi di congettura, nei quali si deve considerare soltanto il rapporto di estensione e che, di conseguenza, appartengono alla Geometria tanto quanto all’Analisi.»

Come sottolinea Joseph Bertrand nella sua opera Calcul des probabilités (Gauthier-Villars, 1889): «La probabilità di un evento è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli e il numero totale dei casi possibili. Una condizione è sottintesa: tutti i casi devono essere ugualmente possibili.» Bertrand propone allora un piccolo calcolo di probabilità «elementare» relativo a una corda di una circonferenza. Questo piccolo problema, chiamato paradosso di Bertrand, conduce a risultati diversi a seconda del ragionamento seguito. Il problema si enuncia così: qual è la probabilità p che una retta scelta a caso su una circonferenza di raggio 1 determini una corda [AB] di lunghezza maggiore di $\sqrt{3}\backslash sqrt\{3\}$ (che è la lunghezza del lato di un triangolo equilatero inscritto nella circonferenza? Si possono seguire almeno tre ragionamenti diversi.

Primo ragionamento: ruotando opportunamente la figura, si può supporre A fisso. Il punto B deve allora trovarsi nell’arco di circonferenza opposto ad A; la probabilità vale dunque 1/3.

Primo ragionamento: p = 1/3.

Secondo ragionamento: ruotando opportunamente la figura, si può supporre che la corda [AB] sia orizzontale. Deve allora trovarsi a una distanza dal centro minore di 1/2; la probabilità vale dunque 1/2.

Secondo ragionamento: p = 1/2.

Terzo ragionamento: il centro della corda, indicato con C, deve trovarsi in un disco, in grigio nella figura, il cui raggio è la metà di quello del disco grande. La probabilità cercata è dunque il rapporto fra l’area del disco grande e quella del disco piccolo, cioè 1/4.

Terzo ragionamento: p = 1/4.

Qual è il «giusto» risultato? E come spiegare che i tre ragionamenti conducano a tre risultati diversi? Tutto dipende dall’espressione «scegliere una retta a caso». Per definire bene questa nozione, bisogna anzitutto interessarsi alla rappresentazione delle rette. In generale, una retta D è definita come l’insieme dei punti di coordinate (x, y) che verificano un’equazione del tipo ax + by + c = 0; i coefficienti a, b e c servono a rappresentare D. Ma questa forma non è univoca: si possono per esempio sostituire a, b e c rispettivamente con 2a, 2b e 2c, senza modificare D. È però possibile trovare un’altra rappresentazione di D, detta «canonica». Rappresenteremo D mediante due parametri: θ, l’angolo fra l’orizzontale e la perpendicolare alla retta passante per O, e r, la distanza della retta dall’origine O del sistema di riferimento. D è allora l’insieme dei punti (x, y) del piano che verificano l’equazione x cos (θ) + y sin (θ) – r = 0. Stabilendo così la corrispondenza fra il «punto (θ, r)» e la «retta del piano», si vede che «scegliere una retta a caso» equivale a «scegliere a caso un punto (θ, r)».

Estrarre a caso coppie (θ, r).

Rette corrispondenti.

L’insieme delle rette che verificano una certa proprietà P corrisponde dunque a una regione U(P) del piano (θ, r). La parametrizzazione (θ, r) è una buona rappresentazione perché è la sola a garantire l’invarianza per traslazione e rotazione. Così, se si cambia sistema di riferimento spostando O e ruotando gli assi, per ogni proprietà P la misura, o area, di U(P) è uguale alla misura di U’(P), dove U’(P) indica l’insieme dei punti (θ’, r’) che rappresentano, nel nuovo sistema di riferimento, le rette che verificano anch’esse P.

Si può considerare come esempio la proprietà «intersecare un disco di raggio R». Grazie all’invarianza per traslazione, si può considerare il disco centrato in O e di raggio R. L’insieme E dei punti (θ, r) tali che la retta D di parametri θ e r intersechi il disco è allora il rettangolo i cui lati hanno rispettivamente lunghezza 2π e R. La misura di E è dunque l’area del rettangolo e vale 2π R, che è anche uguale al perimetro del disco.

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Questo esempio permette di dare «la soluzione» al paradosso di Bertrand: la probabilità che la corda [AB] abbia lunghezza maggiore di è uguale alla probabilità che una retta che interseca il disco grande di raggio 1 intersechi anche il disco piccolo di raggio 1/2. Ora, questa probabilità è il rapporto fra il perimetro del disco piccolo e quello del disco grande, e non il rapporto fra le loro aree, come nel terzo ragionamento proposto! La risposta «giusta» è dunque p = (2π × 0,5) / (2π × 1), ossia p = 1/2.

In realtà, questo risultato si estende a un contesto più generale e si può dimostrare che la misura dell’insieme delle rette che intersecano un convesso K è uguale al perimetro di K.

Un insieme K è convesso se, presi due punti qualsiasi all’interno di K, il segmento che li congiunge è interamente contenuto in K.

Le applicazioni della geometria stocastica si basano sugli sviluppi teorici, ma vale anche il contrario: le questioni che emergono in alcune applicazioni danno luogo a nuovi sviluppi teorici. È il caso della stereologia, il cui scopo è ottenere informazioni su un oggetto bidimensionale ignoto a partire da misure sulle sue sezioni unidimensionali.

Immaginiamo un rettangolo che contenga un oggetto ignoto K. Se si lanciano rette a caso attraverso il rettangolo, sapendo soltanto se la retta ha intersecato o meno l’oggetto, si può allora conoscere la probabilità che una retta scelta a caso, che interseca il rettangolo, intersechi anche K. Ma questa probabilità è uguale al rapporto fra il perimetro di K, supposto convesso, e il perimetro del rettangolo! Questo principio è molto usato nella scienza dei materiali, perché permette di ottenere caratteristiche geometriche dell’oggetto, quali il perimetro.

In un altro ambito, la sintesi di immagini è un esempio forse più inatteso in cui interviene la geometria stocastica. Invece di lanciare un ago, si possono lanciare piccole immagini che rappresentano un motivo. Se si lanciano molti esemplari di uno stesso motivo su una grande superficie, dopo la normalizzazione rispetto alla media e alla varianza si ottiene, grazie al teorema del limite centrale, una grande immagine chiamata immagine di texture. Immagini di questo tipo sono molto usate nei film d’animazione e nei videogiochi, dove occorre generare immagini di sintesi che rappresentino lo sfondo, come cielo, erba, sabbia, marmo o tessuto.


Un procedimento di questo tipo, equivalente a «filtrare» un rumore con un filtro ben scelto, permise a Ken Perlin, professore al dipartimento di informatica dell’Università di New York, di vincere a Hollywood un Oscar tecnico nel 1997 grazie al suo metodo di sintesi di texture procedurale.

Oltre a questi esempi, la sintesi di immagini è molto utile anche in medicina per modellizzare e comprendere le immagini dei tessuti biologici

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Questo testo è tratto dalla conferenza tenuta da Agnès Desolneux mercoledì 26 aprile 2017 alla Bibliothèque nationale de France, nell’ambito del ciclo «Un texte, un mathématicien». Agnès Desolneux è direttrice di ricerca al CNRS, presso il Centre de mathématiques et leurs applications dell’École normale supérieure.