Il passa-dieci ------------
Conoscete il gioco del passa-dieci? Si lanciano tre dadi. Se la somma indicata dalle facce superiori dei tre dadi supera dieci, il lanciatore vince; altrimenti perde. Il gioco è antico e ha dato origine a numerosi problemi. Lo scrittore francese del 19º secolo Villiers de L’Isle-Adam si rammaricava che «i bussolotti del passa-dieci facevano rotolare dadi su poste capaci di affamare province».
Qual è la probabilità che il lanciatore vinca? Si possono eseguire lunghi calcoli combinatori per valutare la probabilità di ciascun lancio, ma è più ingegnoso osservare che la somma dei numeri sulle due facce opposte di un dado è pari a 7. Il totale dei numeri riportati sulle facce opposte, per i tre dadi, è dunque pari a 21.
A ogni lancio di tre dadi la cui somma è inferiore a 10 corrisponde, sulle facce simmetriche (le basi su cui poggiano i dadi), una somma superiore a 10… e viceversa. La probabilità di vincita è quindi 1/2. Semplicissimo!
Il duca di Toscana si era stupito che la somma 10 comparisse più spesso della somma 9, sebbene entrambe potessero presentarsi in sei modi (10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 4 + 1 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3, e 9 = 6 + 2 + 1 = 5 + 3 + 1 = 5 + 2 + 2 = 4 + 4 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3). Galilei risolse il problema calcolando che il 9 poteva comparire in venticinque modi diversi, mentre il 10 poteva comparire in ventisette modi diversi, fra le duecentosedici combinazioni possibili. È dunque più facile ottenere 10 che 9.