Nel Rinascimento, Galileo scrisse di una questione posta da un grande giocatore, Cosimo II de’ Medici, granduca di Toscana, di cui era stato precettore. Cosimo aveva osservato che, lanciando tre dadi, il totale 10 usciva più spesso del 9. Senza essere grandi giocatori come Cosimo, possiamo osservarlo anche simulando il gioco. Basta programmarlo e giocare virtualmente un migliaio di partite (vedi nel riquadro il testo di un programma): il risultato ottenuto sarà vicino a quello teorico, che si può dimostrare.
Il paradosso toscano ----------------------
Eppure, esistono altrettanti modi di scomporre nove e dieci come somma di tre numeri compresi tra 1 e 6: a Cosimo ciò sembrava contraddittorio! Galileo individuò la ragione di questa stranezza, nota da allora come paradosso toscano. Se ne può comprendere il meccanismo considerando il gioco testa o croce. Se la moneta non è truccata, la probabilità di ottenere testa è pari a 1 / 2, e lo stesso vale per croce. Se si gioca due volte di seguito, ciascuna delle possibilità TT, TC, CT e CC è equiprobabile, dunque tutte hanno probabilità pari a 1 / 4. Se si lanciano invece due monete insieme, le probabilità di ottenere due teste o due croci sono pari a 1 / 4, mentre quella di ottenere una testa e una croce è pari a 1 / 2, poiché riunisce i due casi TC e CT. Nel paradosso toscano accade esattamente lo stesso: le scomposizioni di nove e dieci non sono equivalenti sotto questo aspetto. La differenza sta nella scomposizione di nove in tre volte lo stesso numero, impossibile per dieci.
Il calcolo mostra che la probabilità di ottenere nove è pari a 25 / 216, mentre quella di ottenere dieci è pari a 27 / 216 (ossia 1 / 8). Questi due numeri mostrano che Cosimo era un osservatore acuto e un giocatore davvero eccezionale, poiché le probabilità differiscono soltanto di 1 / 108.
Infatti, lanciando tre dadi, si può ottenere 9 in sei modi distinti. Tre di essi corrispondono a terne di risultati tutti distinti (1 + 2 + 6, 1 + 3 + 5 e 2 + 3 + 4), due a terne con due risultati uguali (1 + 4 + 4, 2 + 2 + 5) e una a una terna con tre risultati uguali (3 + 3 + 3). Nel primo caso, poiché sono possibili sei ordinamenti, la probabilità di ciascuno è 6 / 216 (si noti che 63 = 216, il numero di tutti gli esiti possibili). Nel secondo caso sono possibili soltanto tre ordinamenti, e si ottiene quindi 3 / 216. Nell’ultimo caso ne è possibile uno solo, da cui una probabilità di 1 / 216. In definitiva, la probabilità totale è (18 + 6 + 1) / 216, ossia 25 / 216.