Un vero scienziato mette regolarmente a punto esperimenti per farsi un’idea quanto più possibile corretta della questione che studia. Elabora poi la propria teoria sfruttando tali esperimenti. Questo processo di pensiero è abitualmente chiamato induzione. Come ogni altro scienziato, anche il matematico ricorre agli esperimenti e, di conseguenza, all’induzione quando compie una scoperta (un risultato, un concetto, un metodo…). Potete convincervene calcolando voi stessi, su carta o a mente, la divisione euclidea di 716 709 per 552. La prima cifra del quoziente sarà 1 («nel 716 il 552 ci sta una volta»), ma per trovare la cifra successiva dovrete compiere un esperimento: «Sembrerebbe starci tre volte, ma forse no; proviamo.» In effetti, 3 è troppo grande: bisognerà riprovare con 2…
La scelta del protocollo ---------------------
Ma, quando dimostra gli enunciati che ha trovato (vedi un articolo precedente), il matematico ricorre anche a un altro tipo di ragionamento: la deduzione. Come spiega molto bene George Polya nel suo libro La matematica e il ragionamento plausibile, gli esperimenti del matematico sono spesso di natura psicologica.
Nello studio induttivo di un problema, uno scienziato osserva i risultati degli esperimenti prima di formulare un’ipotesi plausibile che confermi le osservazioni compiute. Ma anzitutto deve scegliere un protocollo sperimentale adeguato. Per esempio, un biologo deve chiedersi quali specie animali studiare, in quale ambiente osservare gli animali scelti, in quali condizioni svolgere osservazioni ed esperimenti… Riflessioni di questo tipo sono essenzialmente di natura psicologica. Come osserva Polya, «la matematica costituisce, sotto diversi aspetti, la materia più adatta allo studio del ragionamento induttivo. Questo studio implica esperimenti psicologici, quali la ricerca del modo in cui un’ipotesi viene rafforzata da diversi tipi di prove. Per la loro intrinseca semplicità e chiarezza, i problemi matematici si prestano a questo genere di sperimentazione psicologica molto meglio dei problemi di altri ambiti».
Illustriamo questa idea con un esempio classico e facile da comprendere. Un biologo desidera studiare i rettili. Deve dunque interessarsi al loro modo di vivere, al loro habitat… Insomma, deve conoscere bene gli animali che saranno oggetto del suo studio e, come scrive Polya, forse deve persino «amarli».