2025, un numero davvero quadrato!

Il nuovo anno è spesso l’occasione per divertirsi un po’ con i numeri. Ecco, per esempio, alcune uguaglianze inviate da Gérard Crézé, di Saint-Michel-en-l’Herm:

(1 + 2) × 3 + 4 × 56 × (−7 + 8) × 9 = 2025;

(1 × 2 + 34) × 56 + (−7 + 8) × 9 = 2025;

− (1 + 2 × 3) + (34 − 5) × 67 + 89 = 2025.

Il gioco riscuote un certo successo dal 2011, anno in cui il regista Takeshi Kitano propose, in occasione di una mostra d’arte contemporanea, di trovare un’espressione dell’annata formata dai primi numeri interi scritti in ordine, separati da consueti operatori matematici (+, −, ×, /, radice quadrata, fattoriale ed esponenti).

Per il 2025, per esempio, si ha: − (1 + 2) + (3!)⁴ + 5 + 6! + 7 = 2025.

Ne troverete sicuramente molte altre! Riuscirete a usare meno dei primi sette interi?

Stretti legami con 45 -----------------------

Molte peculiarità del numero 2025 meritano di essere segnalate. Parecchie sono legate alla sua radice quadrata, che vale 45, un numero la cui scrittura in base 2 è palindroma (101101). Come tutti i quadrati di numeri dispari, 2025 è un numero ottagonale centrato. In altre parole, può essere rappresentato da un insieme di punti che formano ottagoni regolari concentrici di lato 0, 1, 2, 3 ecc.

I tre ottagoni sono formati da 1, 8 e 16 punti.

Per capire perché i numeri ottagonali centrati coincidano esattamente con i quadrati dispari, possiamo seguire la dimostrazione senza parole, ma non per questo meno eloquente, proposta qui sotto su due casi particolari.

Il numero 2025 può dunque essere rappresentato da 23 ottagoni concentrici, il più grande dei quali è formato da 176 punti.

I sorprendenti legami tra 2025 e la sua radice quadrata non finiscono qui! Conoscete senz’altro i numeri primi gemelli, quei numeri primi separati da appena due unità, come 5 e 7, 11 e 13 oppure 29 e 31. Tra 2025 e il suo doppio, diversi numeri primi p hanno un gemello maggiore (della forma p + 2), e sono esattamente 45.

Altro passatempo: provate a trovare una partizione di 45 in almeno tre interi distinti. Per esempio, 45 = 2 + 3 + 10 + 30 oppure 45 = 14 + 15 + 16 sono scomposizioni di questo tipo, mentre 45 = 20 + 25 oppure 45 = 10 + 10 + 25 non lo sono. Dovreste trovarne parecchie: sono esattamente 2025.

Somme da non chiudere occhio! -------------------------------

Poiché abbiamo evocato i numeri figurati, avrete senz’altro già sentito parlare dei numeri triangolari. Sono i numeri ottenuti sommando i primi interi consecutivi: *T_n = 1 + 2 + 3 + … + n = n (n* + 1)/2.

Poiché 2025 è un quadrato, è la somma di due numeri triangolari consecutivi: 2025 = T₄₄ + T₄₅.

Più in generale, con un semplice calcolo algebrico potrete verificare che

n² = *T_n*_–1 + *T_n*.

Ma 2025 è anche il quadrato di un numero triangolare, poiché:

45 = T₉ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

e, per questo motivo, è uguale alla somma dei cubi dei primi numeri naturali:

2025 = T₉² = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + … + 9³.

Dall’antichità sono state proposte varie eleganti dimostrazioni di questa relazione, *T_n*² = 1³ + 2³ + … + n³ (nota come teorema di Nicomaco), mediante graziose scomposizioni.

è uguale al quadrato della somma degli interi da 1 a 5. Impilandole per colore, si possono anche costruire cubi di lato compreso tra 1 e 5. Analogamente, si dimostra che 2025 è la somma dei cubi degli interi da 1 a 9.

Il numero 2025 richiama anche il teorema dei due quadrati di Fermat, detto pure teorema di Natale, poiché fu ampiamente commentato dal magistrato di Tolosa in una lettera a padre Mersenne datata Natale del 1640. Questo teorema afferma che un intero è somma di due quadrati se e solo se ciascuno dei suoi fattori primi della forma 4k + 3 compare con esponente pari.

Qui abbiamo 2025 = 3⁴ × 5², quindi le condizioni sono soddisfatte. Carl Gustav Jakob Jacobi (1804-1851) fornì persino alcune precisazioni che permettono di conoscere il numero di scomposizioni come somma di due quadrati; per 2025 ce n’è una sola: 2025 = 27² + 36². Se ci si concede di sommare qualche quadrato in più, il numero 2025 presenta un’altra proprietà: è il più piccolo quadrato che possa essere scritto come somma di 17 quadrati distinti.

Saprete trovare una simile scomposizione?

A titolo indicativo, si può usare il quadrato di 23.

Nell’opera di Kaprekar ------------------------

Il numero 2025 compare anche nell’opera del matematico indiano Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986), i cui lavori di aritmetica furono divulgati al grande pubblico da Martin Gardner. Si interessò infatti ai numeri che definì harshad («che dà gioia», in sanscrito) e che sono divisibili per la somma delle loro cifre. È proprio il caso di 2025, che è divisibile per 2 + 0 + 2 + 5 = 9.

Come abbiamo spesso visto qui, il numero 2025 trae parte del suo interesse dal fatto di essere il quadrato di 45. Ebbene, 45 è un numero di Kaprekar. Ciò significa che si può dividere il suo quadrato in due numeri la cui somma vale appunto 45.

Infatti, 45² = 2025 e 20 + 25 = 45. I prossimi anni in cui sarà possibile osservare questo fenomeno sono 3025, 9801 e 88209, per il quale si ha effettivamente (88 + 209)² = 88 209.

Dattatreya Ramachandra Kaprekar.

Questioni di geometria discreta -----------------------------------

Lasciamo ora il mondo dell’aritmetica per entrare in quello della geometria discreta o della combinatoria. Per cominciare, partiamo da un quadrato e dividiamo ciascun lato in n segmenti della stessa lunghezza. Si ottengono così 4n punti disposti a quadrato. Uniamo ogni punto a quello posto n + 1 posizioni più avanti lungo il perimetro. Poiché spesso un disegno vale più di un lungo discorso, osservate il grazioso motivo ottenuto per n = 3. Vi si contano 37 regioni.

E con n = 22? Si ottengono 2025 regioni, naturalmente! Attenzione: lo studio del caso generale non è poi così semplice.

Vi siete mai chiesti come si possa rappresentare un disco in un’immagine pixelata? Ecco un metodo possibile. Consideriamo una griglia formata da piccoli quadrati. Se si traccia un cerchio di raggio 5 il cui centro coincide con il centro di uno dei piccoli quadrati, il disco comprende 61 piccoli quadrati.

Per un cerchio di raggio 26, si trovano 2025 piccoli quadrati unitari! Una «piccola» colorazione dovrebbe permettervi di convincervene!

Il numero 2025 si nasconde anche in un bel enigma di teoria dei grafi. Disponete quattro punti nel piano e collegateli tutti tra loro. Otterrete il grafo completo di ordine 4, indicato con K₄. Quanti incroci avete realizzato? Se disponete bene i punti, forse nessuno: per esempio collocandone uno all’interno del triangolo formato dagli altri tre.

Provate allora con il grafo K₅. Lo si può disegnare con un solo incrocio, ma non si può fare di meglio. Per K₆, si sa che il minimo è di 3 incroci e che, per K₇, è di 9 incroci. Dimostrare questi primi risultati non è poi così evidente.

Si può dimostrare che non è possibile fare di meglio.

Tutti i valori sono noti fino a K₁₄, ma oltre non vi è alcuna certezza. Per K₂₁, si congettura che il minimo sia di 2025 incroci. Chi riuscirà a dimostrarlo? Anche se forse non lo sapremo prima della fine dell’anno, speriamo che quest’anno sia tra i più felici per le nostre lettrici e i nostri lettori!