Buon anno! Le proprietà del 2023

Per un matematico, la prima domanda che può sorgere studiando un numero riguarda la sua fattorizzazione. Il numero naturale 2 023 è un numero primo?

Ebbene no: si fattorizza nella forma 2 023 = 7 × 17².

Si può anche osservare che 2 023 = 2 048 – 25 = 2¹¹ – 5².

Raphaël Douady coglie l’occasione per esprimere 2 023 usando solo le due cifre 2 e 5:

2 023 = 2^5×2 × 2 – 5²

oppure: 2 023 = 2^{(52 – 2(5 + 2))} – 5²

o persino: 2 023 = 2^{((5 – 2)2 + 2)} – 5².

Con le sole due cifre 3 e 1 si può anche scrivere:

2 023 = (33 – 1)⁽¹⁺¹⁾ + ((3+3)⁽¹⁺¹⁾ + 1) × 3³.

A voi il compito di dar prova d’immaginazione, come Dominique Souder, il cui quadrato magico, da lui creato, potrete scoprire nella pagina seguente.

«Kitano» per il 2023 ------------------------

Da diversi anni, Tangente si occupa della scrittura dell’anno secondo alcune regole ideate dal giapponese Takeshi Kitano.

Kitano non è un matematico: è un regista cinematografico. Durante la mostra «Mathématiques, un dépaysement soudain», tenutasi a Parigi nel 2011 presso la Fondation Cartier pour l’art contemporain (vedi Tangente 143, 2011), propose una sfida ai visitatori. Occorreva trovare la formula più breve per esprimere l’anno in corso scrivendo, nell’ordine, i primi numeri interi ai quali applicare:

• le operazioni usuali scelte fra +, ‒, ×, /,

• potenze di ordine qualsiasi o radici quadrate,

• all’occorrenza fattoriali e concatenazioni di cifre.

Sono ammesse tutte le combinazioni, ma lo scopo principale è riuscirci con il minor numero possibile di cifre. Per l’anno 2 023, ecco alcune proposte di due collaboratori di Tangente.

Alain Zalmanski (detentore del record, con appena sei cifre):

2 023 = 1×2 + (3!)⁴ + 5 + 6!,

2 023 = (1+ 2 + 3)⁴ + (5!) × 6 + 7,

2 023 = (((1+ 2)³ + 4) × 5) × (6 + 7) + 8,

2 023 = ((1 + 2 + 3 – 4) × 56 + 7) × (8 + 9).

François Lavallou non è da meno con le sue proposte:

2 023 = (‒1 + 234 + 56) × 7,

2 023 = (1 + 2³) × 4 × 56 + 7,

2 023 = 1234 × (‒5 + 6) +789.

2023 al crivello di Flavio Giuseppe ------------------------------------------

Al di là di queste considerazioni ludiche, una delle proprietà più notevoli del numero intero 2 023 è senza dubbio quella di essere un numero di Flavio Giuseppe: deriva da un particolare «crivello», simile al crivello di Eratostene (vedi, per esempio, Tangente 149, 2012), che permette di generare i numeri primi.

Flavio Giuseppe (circa 37 ‒ circa 100), di origine ebraica, nato in Giudea sotto il dominio romano, fu comandante militare della Galilea durante la guerra contro i Romani, prima di stabilirsi a Roma. È considerato uno dei più importanti cronisti storici dell’antichità greco-romana. Gli si deve il racconto, in greco, degli eventi e dei conflitti del suo tempo fra Roma e Gerusalemme. Il suo nome è legato a un problema di combinatoria che si può illustrare con il racconto (tragico) dettagliato nel riquadro.

Ispirato a questo racconto, ma esteso all’insieme di tutti gli interi, il crivello di Flavio Giuseppe è il seguente.

• Si scrive la successione dei numeri interi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49…

• Al primo passaggio si elimina un numero su due da questa lista. Si ottiene allora: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39 41, 43, 45, 47, 49…

• Al secondo passaggio si elimina un numero su tre da questa nuova lista: 1, 3, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25, 27, 31, 33, 37, 39, 43, 45, 49…

• Al terzo passaggio si elimina ora un numero su quattro da questa lista: 1, 3, 7, 13, 15, 19, 25, 27, 31, 37, 39, 43, 49…

• Si ripete questo procedimento all’infinito, eliminando un numero su n + 1 all’n^esima fase.

I numeri che restano dopo il passaggio attraverso questo crivello sono, per definizione, i numeri di Flavio Giuseppe. Fra gli interi minori di 100 si trovano 1, 3, 7, 13, 19, 27, 39, 49, 63, 79 e 91.

Seguono poi molti altri interi, fra i quali… 2 023. È il cinquantunesimo numero di Flavio Giuseppe!

Benché ne esistano infiniti, sembrano «molto meno numerosi» dei numeri primi. Infatti, esistono trentacinque numeri di Flavio Giuseppe minori di 1 000, contro centosessantotto numeri primi. E il divario continua ad ampliarsi: fra gli interi minori di 10 000 ci sono centododici numeri di Flavio Giuseppe e mille duecentoventinove numeri primi; fra gli interi minori di 100 000 ci sono trecentocinquantasette numeri di Flavio Giuseppe e novemilacinquecentonovantadue numeri primi.

La distribuzione asintotica dei numeri di Flavio Giuseppe è diversa da quella dei numeri primi. Quando n tende all’infinito, il numero di interi di Flavio Giuseppe minori di n è equivalente a $2\sqrt{{\displaystyle \frac{n}{\pi }}}2\; \backslash sqrt\{\backslash dfrac\{n\}\{\backslash pi\}\}$ mentre, secondo il teorema dei numeri primi, il numero di numeri primi minori di n è equivalente a ${\displaystyle \frac{n}{\ln n}}\backslash dfrac\{n\}\{\backslash ln\; n\}$ (dove ln indica il logaritmo naturale): quest’ultima è una funzione che cresce più rapidamente della precedente quando n diventa «sempre più grande».

Ci si può stupire che numeri di questo tipo siano stati studiati. Furono introdotti dal matematico statunitense di origine polacca Stanislaw Ulam (1909‒1984), soprattutto per distinguere, fra le proprietà dei numeri primi, quelle che derivano dal fatto di provenire da un crivello e quelle che sono loro proprie. Ulam è noto anche per aver fatto parte della squadra che sviluppò la bomba H durante la Seconda guerra mondiale. Comunque sia, grazie a lui il 2023 può vantare una bella proprietà e scommettiamo che, così, l’anno che comincia non potrà che essere migliore!