Proprietà matematiche del 2026 | Tangente

Anno del gatto nero, il 2026 vi riserva tre venerdì 13: uno a febbraio, uno a marzo e uno a novembre. Per alcuni sarà forse l’occasione per tentare la fortuna al lotto. In ogni caso, ne approfittino pure tutti i superstiziosi, perché non possono esserci più venerdì 13 in un solo anno.

Forse conservate un ricordo vivo dell’annata 2025 che, essendo il quadrato di un numero triangolare, racchiudeva molte proprietà particolarmente eleganti ed è stata persino oggetto di una quantità di video e animazioni sui social network. A prima vista il 2026 potrebbe sembrare più insipido, ma non lasciatevi ingannare: anche quest’anno c’è di che divertirsi!

A differenza dell’anno scorso, il 2026 non è un quadrato. Tuttavia, 2026³ – 2026² lo è (quello di 91 170), e ciò vale per ogni numero successivo a un quadrato. Del resto, 2026 si scrive naturalmente come somma di due quadrati (2026 = 2025 + 1), ma questa è soprattutto la sua unica scomposizione come somma di due quadrati non nulli. Ciò non accade per tutti i numeri interi della forma n² + 1.

Per esempio, 65 = 8² + 1 = 7² + 4² e 2117 = 46² + 1 = 34² + 31². Pierre de Fermat (circa 1605-1665) si interessò da vicino alle scomposizioni dei numeri interi come somma di due quadrati, in particolare in una lunga lettera datata Natale 1640 e indirizzata al «mio reverendo Padre» Marin Mersenne (1588-1648). Bisognò tuttavia attendere i lavori di Carl Gustav Jacobi (1804-1851) nel 19^º secolo per poter stabilire una formula che fornisse il numero di scomposizioni come somma di due quadrati di un dato intero.

Torniamo al 2026 e al fatto che si scriva nella forma n² + 1 e, in particolare, che l’intero n in questione, ossia 45, sia dispari. Scrivendo gli interi a spirale, i successori dei quadrati dispari compaiono tutti nell’angolo inferiore destro.

Fu assistendo a una conferenza, a quanto pare particolarmente noiosa, che Stanislaw Ulam (1909-1984) scarabocchiò questa spirale nel 1963. Vi colorò i numeri primi e vide così comparire motivi piuttosto regolari che ancora oggi conservano in parte tutto il loro mistero.

Esiste un altro legame tra il 2026 e i numeri della forma n² + 1. Se partite da 0 e applicate più volte la funzione definita da f(n) = n² + 1, finirete per imbattervi in un nuovo numero che termina con 0. Ciò accade dopo sei passaggi e il risultato è peraltro 458 330. Funziona anche partendo da 1 o da 2, ma non da 3. Per convincervene basta fare i calcoli: si giunge al ciclo (0, 1, 2, 5, 6, 7), che si ripeterà indefinitamente senza mai tornare a 3. Anche con 2026 finirete per imbattervi in un numero che termina con 2026, sempre dopo sei passaggi. Il numero in questione è:

42162622043820589475763301393483294985588850597501496703159869505429422415 40544793505642652181734936693228117322802764824276355718732857750650374248 6145502193136631059483236263981479149047893828475561779562152026. Uff!

Inoltre, iterando la funzione f a partire da un numero di almeno 4 cifre, si giunge sempre a un numero le cui ultime 4 cifre appartengono al ciclo (4330, 8901, 7802, 1205, 2026, 4677).

Oltre a essere il successore di un quadrato, il 2026 è anche il predecessore di un numero primo. La prossima volta accadrà nel 3250. Notate però che anche 2208 è compreso tra un numero primo e un quadrato, ma nell’ordine inverso.

Abbiamo visto che 2026 si esprime in un solo modo come somma di due quadrati, ma può anche essere ottenuto come somma di sette cubi. Le soluzioni possibili sono nove: saprete trovarle tutte?

Se volete sommare dei quadrati, basta sceglierli con giudizio tra i primi 21: 1² + 2² + 3² + 5² + 6² + 7² + 10² + 11² + 13² + 14² + 15² + 17² + 19² + 21² = 2026.

Curiosamente, quelli eliminati non sono scelti a caso: sono i quadrati di 4, 8, 9, 12, 16, 18 e 20. Tutti questi interi sono a loro volta divisibili per quadrati. In realtà abbiamo conservato soltanto i primi 14 interi privi di fattori quadrati, cioè gli interi non divisibili per un quadrato perfetto (diverso da 1, naturalmente). Del resto Fermat ricorreva a questi interi privi di fattori quadrati per affrontare il celebre problema del teorema di Natale!

Poiché parliamo di divisibilità, restiamo nell’ambito dell’aritmetica, dove la somma s(n) dei divisori propri di un intero n offre un vero terreno di gioco a chiunque ami la matematica ricreativa.

Si ha per esempio s(2366) = 2026, poiché i divisori di 2366 sono 1, 2, 7, 13, 14, 26, 91, 169, 182, 338 e 1183. I calcoli a mano sono un po’ più lunghi, ma si può anche verificare che s(s(4402)) = 2026. Se invece cercate un intero n tale che s(s(s(n))) = 2026, rischiate di restare delusi, perché non ne esiste alcuno!

In un altro ambito, osserviamo anche che 2026 = 2¹¹ – 2 × 11. Questa notazione, gradevole alla vista, può essere interpretata concretamente. Immaginate di voler formare un gruppo di 11 persone che parlino cinese oppure francese (ma non entrambe le lingue), senza che nessuno si ritrovi a essere l’unico a parlare la propria lingua. Ci sono allora 2026 modi di procedere, perché per ciascuna persona avete due scelte linguistiche (cinese o francese), dunque 2¹¹ possibilità, dalle quali vanno sottratte le 11 situazioni in cui una sola persona parla francese e le 11 situazioni in cui una sola parla cinese.

Disporre punti per formare figure particolari era un’attività apprezzata al tempo dei pitagorici e rimase fonte di interesse per molto tempo. Si possono per esempio disegnare dei «diamanti» disponendo i punti a forma di rombo. Ecco, per esempio, i diamanti di lato 2, 3 e 4:

Dato che siamo nel 2026, assembliamo tre diamanti di lato 26 con un vertice in comune per formare un triangolo equilatero: occorrono… 2026 punti!

Le immagini pixelate sono costituite da piccoli quadrati che si possono anche contare con pazienza. Nel semidisco qui sotto ce ne sono esattamente 2026!

Anche i grafi pongono problemi di conteggio particolarmente impegnativi. Consideriamo, per esempio, tutti i grafi quartici, cioè quelli in cui ogni vertice ha esattamente quattro archi, e tra questi teniamo solo quelli con 17 vertici. Ce ne sono di molto belli e in tutto sono 86 223 660. È enorme, ma se si eliminano tutti quelli connessi, cioè costituiti da un solo pezzo, ne restano soltanto 2026!

Le forme geometriche ricorrono in tutti gli ambiti della matematica. Il triangolo di Pascal è ben noto, ma le sue varianti lo sono un po’ meno. Eppure basta sostituire gli 1 sui lati del triangolo di Pascal con altre successioni di numeri per ottenere un nuovo territorio da esplorare. Ecco, per esempio, ciò che si ottiene prendendo come primo e ultimo termine della n-esima riga, dopo il vertice 0, le somme degli interi da 1 a n.

La somma delle caselle della riga n vale 2(2ⁿ⁺¹ – n – 2) e dunque, per la nona riga, la somma vale 2026.

Per concludere questa panoramica dedicata al 2026, interessiamoci alle torri di Hanoi. Questo celebre rompicapo, inventato dall’arguto Édouard Lucas (1842-1891) nel 1889, è costituito da tre pioli. Il primo piolo contiene una pila di anelli di dimensione decrescente, da spostare sul terzo piolo rispettando le regole seguenti: non afferrare mai più di un anello alla volta e non posare mai un anello più grande su uno più piccolo. Il gioco è ben noto a tutti gli appassionati di matematica ricreativa e per spostare n anelli occorrono almeno 2ⁿ – 1 mosse. Oltre alla sua soluzione, il gioco cela tesori insospettabili a prima vista. Da allora sono state proposte molte varianti (vedi Itération et récurence, Bibliothèque Tangente n°76, POLE, 2021) e alcune questioni restano ancora aperte!

Ma conoscete la variante «magnetica», inventata dall’israeliano Uri Levy? In questa versione gli anelli hanno due facce (diciamo una blu e una rossa), che possiamo immaginare polarizzate come magneti. Come nel gioco classico, si può spostare un solo anello alla volta, ma occorre inoltre capovolgerlo prima di riporlo e, naturalmente, poiché gli anelli sono magnetizzati, non si possono mettere a contatto due facce dello stesso colore.

a ogni mossa e tenere conto della polarizzazione.

Per la pila di due anelli, per risolvere il rompicapo occorrono ora almeno 4 mosse (contro le 3 del gioco classico). Le torri di Hanoi più comuni hanno otto anelli e per risolvere il rompicapo servono allora 255 mosse. Nella versione magnetica, con otto anelli, si passa a 2026 mosse!

per risolvere le torri di Hanoi magnetiche.

Allora, chi ha detto che l’anno 2026 non sarebbe stato matematicamente interessante quanto il precedente? Questa panoramica, certamente non esaustiva, offre già di che convincersi del contrario e iniziare bene l’anno!