Un verdadero científico diseña periódicamente experimentos para formarse la opinión más acertada posible sobre la cuestión que estudia. Después elabora su teoría a partir de esos experimentos. Este proceso del pensamiento suele denominarse inducción. Al igual que cualquier otro científico, el matemático también utiliza experimentos y, en consecuencia, la inducción cuando descubre algo nuevo —un resultado, un concepto, un método…—. Puede comprobarlo usted mismo al efectuar (en un papel o mentalmente) la división euclídea de 716 709 entre 552. La primera cifra del cociente será 1 («en 716 cabe una vez 552»), pero, para hallar la cifra siguiente, tendrá que realizar un experimento: «Parece que cabe tres veces, pero quizá no; probemos.» En efecto, 3 es demasiado grande; habrá que intentarlo de nuevo con 2…
La elección del protocolo ---------------------
Pero el matemático también recurre a otro tipo de razonamiento, la deducción, cuando demuestra los enunciados que ha hallado (véase un artículo anterior). Como explica muy bien George Polya en su libro Las matemáticas y el razonamiento plausible, los experimentos del matemático suelen ser de naturaleza psicológica.
En el estudio inductivo de un problema, un científico observa los resultados de experimentos antes de formular una hipótesis plausible que confirme las observaciones realizadas. Pero, ante todo, debe elegir un protocolo experimental adecuado. Por ejemplo, un biólogo debe preguntarse qué especies animales ha de estudiar, en qué medio debe observar a los animales elegidos para su estudio, en qué condiciones se realizarán las observaciones y los experimentos… Tales reflexiones son esencialmente de naturaleza psicológica. Como señala Polya, «las matemáticas constituyen, desde varios puntos de vista, la disciplina más apropiada para el estudio del razonamiento inductivo. Este estudio requiere experimentos psicológicos, como investigar cómo una hipótesis se ve reforzada por distintos tipos de pruebas. Por su sencillez y claridad inherentes, los problemas matemáticos se prestan a esta clase de experimentación psicológica mucho mejor que los problemas de otros ámbitos».
Ilustremos esta idea con un ejemplo clásico y fácil de comprender. Un biólogo desea estudiar reptiles. Debe interesarse, por tanto, por su modo de vida, su hábitat… En resumen, debe conocer bien a los animales que serán objeto de su estudio y, como escribe Polya, quizá incluso deba «quererlos».