En el Renacimiento, Galileo escribió sobre una cuestión planteada por un gran jugador, Cosme II de Médici, gran duque de Toscana, de quien había sido preceptor. Cosme había observado que, al lanzar tres dados, la suma 10 salía con más frecuencia que la 9. Sin seguir realmente a jugadores como hizo Cosme, también podemos observarlo simulando el juego. Para ello, basta programarlo y jugar virtualmente mil veces (véase en el recuadro el texto de un programa): el resultado obtenido será próximo al resultado teórico, el que puede demostrarse.
La paradoja de Toscana ----------------------
Sin embargo, hay tantas maneras de descomponer nueve como diez en suma de tres números entre 1 y 6, ¡algo que a Cosme le parecía contradictorio! Galileo halló la razón de esta rareza, conocida desde entonces con el nombre de paradoja de Toscana. Podemos comprender su mecanismo considerando el juego de cara o cruz. Si la moneda no está trucada, la probabilidad de obtener cara es igual a 1 / 2, y lo mismo ocurre con la de obtener cruz. Si jugamos dos veces seguidas, cada una de las posibilidades CC, CX, XC y XX es equiprobable, por lo que sus probabilidades son todas iguales a 1 / 4. Si lanzamos las dos monedas a la vez, las probabilidades de obtener dos caras o dos cruces son iguales a 1 / 4, pero la de obtener una cara y una cruz es igual a 1 / 2, pues reúne los dos casos CX y XC. En la paradoja de Toscana sucede exactamente lo mismo: las descomposiciones de nueve y diez no son equivalentes desde este punto de vista. La diferencia reside en la descomposición de nueve como tres veces el mismo número, algo imposible para diez.
El cálculo muestra que la probabilidad de obtener nueve es igual a 25 / 216, mientras que la de obtener diez es igual a 27 / 216 (es decir, 1 / 8). Estas dos cifras muestran que Cosme era un observador perspicaz y un jugador realmente extraordinario, pues las probabilidades solo difieren en 1 / 108.
En efecto, al lanzar tres dados podemos obtener 9 de seis maneras distintas. Tres de ellas corresponden a tres tiradas distintas (1 + 2 + 6, 1 + 3 + 5 y 2 + 3 + 4), dos a dos tiradas (1 + 4 + 4, 2 + 2 + 5) y una a una sola (3 + 3 + 3). En el primer caso, como son posibles seis órdenes, la probabilidad de cada una es 6 / 216 (obsérvese que 63 = 216, el número total de tiradas posibles). En el segundo caso, solo son posibles tres órdenes, lo que da 3 / 216. En el último caso solo es posible uno, de donde resulta una probabilidad de 1 / 216. Finalmente, la probabilidad total es (18 + 6 + 1) / 216, es decir, 25 / 216.