À la Renaissance, Galilée écrivit sur une question posée par un grand joueur, Cosme II de Médicis, grand-duc de Toscane, dont il avait été le précepteur. Cosme avait remarqué qu'en jetant trois dés, le total 10 sortait plus souvent que le 9. Sans suivre réellement des joueurs comme Cosme l'a fait, on peut également l'observer en simulant le jeu. Pour cela, il suffit de le programmer et de jouer virtuellement un millier de fois (voir le texte d'un programme en encadré), le résultat obtenu sera proche du résultat théorique, celui que l'on peut démontrer.
Le paradoxe de Toscane ----------------------
Pourtant, il existe autant de façons de décomposer neuf et dix en somme de trois nombres entre 1 et 6, ce qui semblait contradictoire à Cosme ! Galilée trouva la raison de cette bizarrerie, connue depuis sous le nom de de paradoxe de Toscane. On peut comprendre son mécanisme en considérant le jeu de pile ou face. Si la pièce n'est pas pipée, la probabilité d'obtenir pile est égale à 1 / 2, et de même pour celle d'obtenir face. Si l'on joue deux fois de suite, chacune des possibilités PP, PF, FP et FF est équiprobable, donc leurs probabilités sont toutes égales à 1 / 4. Si l'on jette les deux pièces à la fois, les probabilités d'avoir deux piles ou deux faces sont égales à 1 / 4, mais celle d'avoir un pile et un face est égale à 1 / 2 car elle regroupe les deux cas PF et FP. Il en va exactement de même dans le paradoxe de Toscane : les décompositions de neuf et dix ne sont pas équivalentes de ce point de vue. La différence tient en la décomposition de neuf en trois fois le même nombre, ce qui est impossible pour dix.
Le calcul montre que la probabilité d'obtenir neuf est égale à 25 / 216, alors que celle d'obtenir dix est égale à 27 / 216 (soit 1 / 8). Ces deux nombres montrent que Cosme était fin observateur, et vraiment très grand joueur, car les probabilités ne diffèrent que de 1 / 108.
En effet, en jetant trois dés, on peut obtenir 9 de six façons distinctes. Trois d'entre elles correspondent à des tirages distincts (1 + 2 + 6, 1 + 3 + 5 et 2 + 3 + 4), deux à deux tirages (1 + 4 + 4, 2 + 2 + 5) et une à un seul (3 + 3 + 3). Dans le premier cas, comme six ordres sont possibles, la probabilité de chacun est de 6 / 216 (noter que 63 = 216, nombre de tous les tirages possibles). Dans le second cas, trois ordres seulement sont possibles, ce qui donne 3 / 216. Dans le dernier cas, un seul est possible, d'où une probabilité de 1 / 216. Finalement, la probabilité totale est de (18 + 6 + 1) / 216, soit 25 / 216.